- •Дросселирование Методическое пособие
- •270109 «Теплогазоснабжение и вентиляция»
- •Предисловие
- •1. Общие сведения о дросселировании
- •2. Дросселирование идеального газа
- •3. Дросселирование пара
- •4. Дроссель-эффект Джоуля-Томсона
- •4.1. Молекулярно-кинетическая природа изменения температуры газа в процессе дросселирования
- •4.2. Общие формулы для дифференциального дроссель-эффекта
- •5. Дифференциальный дроссель-эффект в области двухфазных состояний вещества
- •6. Дифференциальный дроссель-эффект в критической точке
- •7. Дифференциальный дроссель-эффект в однофазных областях. Точки инверсии
- •8. Инверсионная кривая
- •9. Дросселирование рабочего тела, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса
- •9.1. Основные сведения об уравнении Ван-дер-Ваальса
- •Критические параметры и zк для некоторых веществ
- •9.2. Качественный анализ процесса дросселирования с помощью уравнения Ван-дер-Ваальса
- •9.2.1. Построение инверсионной кривой
- •9.3. Расчетное определение термодинамических параметров в точке максимума инверсионной кривой
- •9.4. Расчетное определение максимальной и минимальной температуры инверсии
- •10. Сравнение дроссель-эффекта с температурным эффектом адиабатного расширения
- •Приложение п.1. Вывод формулы для дифференциального дроссель-эффекта (вариант автора пособия)
- •П.2. Вывод формулы для инверсионной кривой (вариант автора пособия)
- •П.3. Вывод приближенной формулы для дифференциального дроссель-эффекта (вариант автора пособия)
- •Список литературы
- •Содержание
9. Дросселирование рабочего тела, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса
Как указывалось выше, для определения дифференциального дроссель-эффекта и инверсионной кривой необходимо знание уравнения состояния реального газа. В качестве примера обычно рассматривается уравнение состояния реального газа, предложенное Ван-дер-Ваальсом.
9.1. Основные сведения об уравнении Ван-дер-Ваальса
Нидерландский физик Ян Дидерик Ван-дер-Ваальс (1837 – 1923) – лауреат Нобелевской премии 1910 г., вывел в 1873 г. уравнение состояния неидеального газа в виде:
, (9.1)
учитывающем конечность объема молекул и наличие сил межмолекулярного притяжения.
Здесь a, b, R – постоянные, индивидуальные для каждого вещества;
– поправка, учитывающая уменьшение давления из-за взаимного притяжения молекул; силы взаимного притяжения молекул создают в тонком слое у стенки сосуда равнодействующую силу, направленную внутрь объема;
b – поправка, учитывающая собственный объем молекул и силы отталкивания между ними.
Для определения индивидуальных постоянных, необходимы экспериментальные измерения Р, Т, V хотя бы для трех состояний.
Часто численные значения постоянных a, b и R определяются по критическим параметрам вещества (РК, ТК, VК), найденным экспериментально.
В таблице 9.1. представлены значения критических параметров и коэффициента сжимаемости в критической точке ZК для некоторых веществ, где , и величина R взята по идеальному газу, т.е. .
Таблица 9.1.
Критические параметры и zк для некоторых веществ
Вещество |
Химическая формула |
ТК, °К |
РК, МПа |
VК∙103, м3/кг |
ZК |
Азот |
N2 |
126,20 |
3,400 |
3,194 |
0,290 |
Аммиак |
NH3 |
405,50 |
10,93 |
4,255 |
0,238 |
Вода |
H2O |
647,27 |
22,115 |
3,147 |
0,239 |
Водород |
H2 |
33,25 |
1,320 |
32,50 |
0,320 |
Кислород |
O2 |
154,58 |
5,043 |
2,30 |
0,290 |
Метан |
CH4 |
190,77 |
4,626 |
6,116 |
0,284 |
Окись углерода |
CO |
132,90 |
3,500 |
3,325 |
0,295 |
Углекислый газ |
CO2 |
304,20 |
7,383 |
2,136 |
0,274 |
На рис. 9.1. приведены изотермы Ван-дер-Ваальса. В области двухфазного состояния вещества (влажного насыщенного пара) они имеют волнообразный характер, что отличает их от реальных изотерм, представляющих прямые, параллельные оси V (например, С'С''). Эти волнообразные участки объясняются тем, что уравнение Ван-дер-Ваальса является уравнением третьей степени относительно V и, поэтому, может иметь либо три, либо один вещественный корень при различных Р и Т. Один вещественный корень существует только при .
Рис. 9.1. Изотермы Ван-дер-Ваальса
В критической точке изотерма tКР имеет точку перегиба, поэтому в этой точке выполняются два условия:
(9.2)
и
(9.3)
Таким образом, для определения трех неизвестных постоянных (a, b и R) есть три уравнения, полученные из уравнений (9.1 – 9.3):
|
(9.4) |
(9.5) |
|
(9.6) |
Температуру TК и удельный объем VК можно определить из уравнений (9.5), (9.6) и затем определить РК из уравнения (9.4).
В итоге
; ; . (9.7)
Отсюда
; ; . (9.8)
Найденное по формуле (9.8) значение R отличается от общепринятых значений, взятых по идеальному газу:
.
Так, для водяного пара при значениях TК, VК и РК, взятых из таблицы 9.1, величина R по формуле (9.8) равна 297,2 , в то время, как по идеальному газу
.
Общим требованием ко всем уравнениям состояния реального газа является обращение их в уравнение Менделеева-Клайперона (PV = RT) при V → ∞. Уравнение Ван-дер-Ваальса при V >> b переходит в уравнение состояния идеального газа, если значение R взято по идеальному газу. Если брать R по идеальному газу, т.е. не определять ее по третьему уравнению (9.8), то для нахождения двух оставшихся постоянных (a и b) имеется три исходных уравнения (9.4), (9.5) и (9.6). Эта ситуация означает неопределенность в вычислении постоянных a и b, так как их значения зависят в этом случае от того, какая пара термодинамических параметров взята в качестве определяющих: РК и ТК, VК и ТК, РК и VК. В зависимости от выбора определяющей пары термодинамических параметров получаются различные значения постоянных a и b. В качестве примера в таблице 9.2 представлены результаты расчета постоянных Ван-дер-Ваальса для водяного пара при различных вариантах сочетания двух определяющих параметров.
Таблица 9.2.
Значения постоянных Ван-дер-Ваальса для водяного пара при R = Rμ/μ
Номер варианта сочетания определяющих параметров |
Определяющие параметры |
а, Н∙м4/кг2 |
b, м3/кг |
1 |
РК и ТК |
1700 |
0,001687 |
2 |
VК и ТК |
1095 |
0,001087 |
3 |
РК и VК |
706 |
0,001087 |
При расчете R по формуле (9.8) при известных TК, VК и РК получено: а = 706 Н∙м4/кг2, b = 0,001087 м3/кг.
Предпочтительным является вариант 1 сочетания определяющих параметров, т.к. в специальных опытах по определению термодинамических параметров в критической точке, значения РК и TК определяются значительно точнее, чем VК.
Недостатком метода вычисления постоянных a и b при R, взятом по идеальному газу, является то, что критическая изотерма, рассчитанная по уравнению Ван-дер-Ваальса при всех трех вариантах сочетания определяющих параметров, не проходит через критическую точку. Ближе всего к ней проходит изотерма, рассчитанная при a и b, найденных по варианту 1.
От этого недостатка свободен метод определения a, b и R по формулам (9.8), но при этом уравнение Ван-дер-Ваальса, записанное в форме
, (9.9)
при Р → 0 не обращается в равенство, как у идеального газа, поскольку правая часть уравнения (9.9) не стремится к нулю. Кроме того, в этом методе коэффициент сжимаемости в критической точке ( ) получается для всех веществ одинаковым и равным 3/8 = 0,375, т.е. заметно отличается от разнообразных значений ZК в табл. 9.1, полученных для различных веществ.
Таким образом, определение постоянных уравнения Ван-дер-Ваальса через параметры TК, VК, РК приводит к серьезным трудностям. Главная причина этих трудностей в том, что уравнение Ван-дер-Ваальса, строго говоря, удовлетворительно применимо лишь в области невысоких давлений, поэтому в области критической точки оно не отличается достаточной точностью, и описывает свойства реальных газов при высоких давлениях лишь приблизительно.
Однако, это уравнение вполне применимо для качественных оценок при анализе некоторых закономерностей поведения реальных газов, в частности при дросселировании.