1

Натуральные числа – числа, возникшие в результате счета предметов.

Целые числа – числа натуральные, им противоположные и число 0.

Дробь – выражение вида m/n, где m – целое число, а n – натуральное.

Целые + дробные = рациональные числа.

Иррациональные числа – любая бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Рациональные + иррациональные = действительные.

Числовая ось – бесконечная прямая, на которой отмечены:

1. т. О, называемая началом отсчета;

2. положительное направление (задается стрелкой);

3. масштаб для измерения длин.

Интервал – совокупность всех точек х, заключенных между двумя данными точками a и b, при этом сами точки а и b рассматриваемой совокупности не принадлежат. a<х<b; x принадлежит (a;b).

Отрезок – совокупность всех точек х, заключенных между двумя данными точками а и b, при этом сами эти точки принадлежат рассматриваемой совокупности. a<=x<=b; x принадлежит [a;b].

Окрестность т. x0 – произвольный интервал ab, содержащий в себе эту точку. Если x0 в середине интервала, то она называется центром окрестности, а величина (b-a)/2 - радиус окрестности.

-окрестность т.С – интервал (C-; C+)/

Переменная величина – величина, принимающие различные значения (x,y,z).

Постоянная величина – величина, числовое значение которой остается неизменным (a,b,c).

Абсолютная величина – величина, которая сохраняет свое значение в любом явлении ().

Упорядоченное множество – множество, в котором про любые 2 элемента можно сказать, какой из них предыдущий, а какой последующий.

Упорядоченная переменная величина – перем. величина, в которой про 2 любых ее значения можно сказать, какое из них предыдущее, а какое – последующее.

Возрастающая переменная величина – перем. Величина, у которой каждое последующее значении больше предыдущего.

Убывающая переменная величина - перем. Величина, у которой каждое последующее значение меньше предыдущего.

Числовое множество Е называют ограниченным, если существует 2 значения А и В, таких, что для любых х из этого множества справедливо неравенство А<=x<=B.

2

Функция – соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу 1го множества по определенному правилу или закону соответствует не более одного элемента 2го множества.

y0=f(x0); x0 – независимая переменная (аргумент), y0 – значение функции y=f(x) при x=x0, f – правило или закон, по которому установлено соответствие y=f(x).

Область определения функции – совокупность всех значений аргумента, при котором эта функция определена.

Область значений фукции – совокупность всех значений, принимаемой переменной y.

Способы задания функции:

1. аналитический (y=f(x));

2. табличный (задание ф-и с помощью таблицы);

3. графический (в виде графика).

Z=h(y); y=g(x)L; => Z=f(x)=h(g(x)); Z – сложная функция (композиция функций.

Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного сколько угодно малого положительного числа  можно указать такое значение перем. величины х, что все последующие значения будут удовлетворять неравенству |x-a|< .

Число а называется пределом числовой последовательности Xn, если для любого сколько угодного малого положит числа  существует номер N, такой, что для любых членов последовательности, таких, что n>N, выполняется соотношение |Xn-a|<.

Число А называется пределом функции f(x) в т. х0, если для любого …  найдется такое >0, что для любых х<>х0, удовлетворяющих |x-x0|< выполняется |f(x)-A|<.

3

Бесконечно большая функция.

Если f(x) стремится к бесконечности при х->а т.е наз-ся б.б. величиной при х->а, если для любого числа М>0 найдётся такое число дельта>0, что при всех х, удовлетвор-х неравенству |x-x0|<дельта, выполняется неравенство |f(x)>M|. Бесконечно малая функ-я. Функ-я у=f(x) наз-ся бесконечно малой при х->х0, если Limf(x)=0 (x->x0). Означает: для любого числа >0 найдётся число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<, выполняется неравенство |f(x)|< .

Связь ббф и бмф

1 f(x)-ббф при х->а , то g(x)=1/f(x)-бмф

2 f(x)-бмф при х->а , то g(x)=1/f(x)-ббф

3 limf(x)=c х->а c-const<>0 g(x)-ббф х->а => f(x)/g(x)-бмф х->а

4 limf(x)=c х->а c-const<>0 g(x)-бмф х->а => f(x)/g(x)-ббф х->а

Свойства

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если (х)0 при хх0, а f(x) определена и ограничена(следвств 1 const*бмф есть бмф. Следств 2 бмф*бмф есть бмф )

в) если ф при х->х0 имеет предел А, то она может быть представлена ввиде f(x)=A+b(x) (b(x)-бмф)

г) обратная в Если может быть представлена f(x)=A+b(x) то она имеет своим пределом А

4

Сравнение бмф

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м (х)/(х)0 при хх0 то говорят что б/м  имеет более высокий порядок малости чем .

2) Если (х)/(х)A0 при хх0 (A-число), то (х) и (х) наз-ся б/м одного порядка.

3) если (х)/(х)1 , то (х) и (х) наз-ся эквивалентными б/м ((х)~(х)), при хх0.

4) Если (х)/^n(х)А0, то (х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно (х).

Аналогичные определения для случаев: хх0-, хх0+, х-, х+ и х.

Основные теоремы о пределах

1 Предел алгибрарич суммы конечного числа финкций равны сумме их пределов

2 Предел произведения двух функция равен произведению их пределов (сл 1 lim(f(x))^n= (limf(x))^n хх0=A^n; cл 2 постоянный множитель можно вынести за знак предела)

3 Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последнии существуют и знаменатель<>0(в д-ве –А/B в обеих частях нерав)

4 если функция заключена между 2 ф. фи(х)<=f(x)<=g(x) имеющие общий предел то функц имеет тот же предел (в док-ве –А)

5

Первый замечательный предел. Lim sinx/x=1 (x->0)—это 1й замеч предел. Читается: предел отношения sin к его аргументу равен 1, когда аргумент стремится к 0.Док-во: круг R=1, радианная мера угла МОВ через х. Пусть 0<x</2. |AM|=sinx, дуга МВ численно равна центральному углу х, |BC|=tgх. Очевидно, имеем S^MOB<SсектораМОВ<S^COB. На основании соответствующих формул геометрии получаем 0,5sinx<0,5x<0,5tgx. Разделим неравенство на 0,5sinx>0, получим 1<x/sinx<1/cosx или cosx<sinx/x<1. Т.к.

Lim cosx=1 (x->1) и lim1=1 (x->1), то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов: lim sinx/x=1 (x->1(x>0)). Пусть теперь x<0. Имеем sinx/x=sin(-x)/-x, где –х>0. Поэтому: Lim sinx/x=1 (x->0 (x<0)). =>

Наз-ся 1ое неравенство.

Второй замеч. предел.

Как известно, предел числовой последоват-ти xn=(1+1/n)^n, nN, имеет предел, равный е: lim(n)(1+1/n)^n=e. Док-ем, что к числу е стремится и функция xn=(1+1/x)^x при х®¥: lim(x®¥)(1+1/x)^x=e.

6

Непрерывность функций

Функция y=f(x) называется непрерывной в т. Х0 если:

1 функция определена в т х0 и в некоторой окрестности,содержащей эту точку

2 lim приращения функции=0 при приращении аргумента стремящемуся к 0

Опр. Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывная в каждой точке этого промежутка.

Если функция определена в т. x=a и в некотор окрест, содерж эту точку и limf(x)=f(a) x стрем к а+0, то функция в т. х=а непрерывна справа

Если limf(x)=f(b) x стрем к а-0, то функция в т. х=b непрерывна слева

Св-ва:1 сумма непрерывных в т. х=х0 ф-ий, есть непрерывная ф-ция

2 произведение 2 непрерыв ф-ций есть функция непрерывная

3 частное 2 непрер функий есть функиця непрерыв, если знам <>0

4 если функция u=фи(х) непрерывна при х=х0 и ф. f(u) непрерыв в т.u0=фи(х0), то сложная ф непрерывна в х0

Точки разрыва:

1 рода(пределы сущ и конечны но не выполн 1 из равенств limf(x)=limf(x)=f(a) при х стрем к а+0(-0):

А) устранимые (limf(x)=limf(x)<>f(a)

Б) точки скачка(limf(x)<>limf(x) )

2 рода (хотя б 1 из пределов бесконечен или не существ):

А)бесконечного скачка(хотя б 1 из пределов бесконечен )

Б)точка неопределённости(хотя б 1 из пределов не сущ)

7