Теорема лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] диф на интервале (а,в) то найдётся хотя б 1 точка с принадл интервалу такая, что выполн равенство f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)

Док-во Пусть y=k*x+l уравнение прямой проходящей через т.(а,f(a)),(b,f(b)) Как известно k=(f(b)-f(a))/(b-a) Рассмотрим ф. F(x)=f(x)-(k*x+l) Эта функция явл разность 2 непрерыв функц => она непрерывнана (а,в) и дифференц в любой точке. Наконец при х=а и х=b значения f(x)=k*x+l в этих точках f(a)=0 f(b)=0 Вспомог ф. удовлетворяем всем условиям теоремы Ролля, а значит на интервале найдётся по крайне мере 1 точка с в которой производная равна 0 поскольку F’(x)=f’(x)-k k=(f(b)-f(a))/(b-a) то F’(x)=f’(x)- (f(b)-f(a))/(b-a)

По т. Ролля F’(c)=0, тогда 0= f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)

17

Теорема Коши

Если ф-ии f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (а,в) причём g’(x)<>0 для х принадлеж (а,в), то найдётся хотя б 1 точка с принадлеж (а,в) такая, что выполняется равенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-f(a)- (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*(g(x)-g(a))

Она удовлетвор всем условиям теоремы Ролля непрерывна на отрезке [a,b] деффер. на интервале (a,b), т.к. является комбинацией функций f(x),g(x) На конце отрезка принимает одинаковые значения F(a)=F(b)=0 На соновании теоремы Ролля найдётся такая точка с, что F’(c)=0 Cледовательно f’(c)- (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g(c)=0

Значит (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

18

1 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции на луче (0 + бесконечность) Причём g’(x)<>0 Пусть lim f(x)=lim g(x)=0 при х->бесконечность. Тогда, если сущ. lim отношения производный при х->бесконечность, то сущ. предел отнош. Функц. И эти пределы равны

2 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции в некотор окрестности т.а, за исключением быть может самой точки а

g’(x)<>0

Пусть lim f(x)=бесконечность при х->a

Пусть lim g(x)=бесконечность при х->a

Тогда если сущ предел отнош производных при х->а, то сущ предел отнош ф. при х->а, то эти пределы равны

3 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции на луче (0 + бесконечность) Причём g’(x)<>0 Пусть lim f(x)=lim g(x)=бесконечность при х->бесконечность

Тогда если сущ предел отношения производных, то существует и предел отношения функций и они равны

4 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции в некотор окрестности т.а

g’(x)<>0

Пусть lim f(x)=0 при х->a

Пусть lim g(x)=0 при х->a

Тогда если сущ предел отнош производных , то сущ и придел отношения ф. причём эти пределы равны

Замечание Если частное производных вновь даёт неопределённость то можно применять правило лапиталя ещё раз при условии что ф. удовлетвор условиям т коши

19

1 условие Пусть ф. определена в т. х=х0 и пусть сущ положительное число дельта, что ф. f(x) непрерывна на отрезке [x0-дельта,х0+дельта] и f(x) дифференц в интервале (х0-дельта,х0) и (х0,х0+дельта) Тогда если на этих интервалах знаки производных различны то х0-точка экстремума, а если знаки совпадают то в х0 экстремума нет. При этом , если при переходе через т.х0 производная меняет знак с + на – то х0-максимум, если с – на + то х0-минимум.

Док-во Пусть f’(x)>0 на (х0-дельта,х0), f’(x)<0 на (х0,х0+дельта). Докажем, что х0-максимум ф. по условию f(x) непрерывна [х0-дельта,х0] и дифференц (х0-дельта,х0) и f’(x)>0. Поэтому f(x) возрастает на [х0-дельта,х0]. Поэтому из неравенства х<x0 x(-[х0-дельта,х0] следует что f(x)<f(x0) Аналагично устанавливается что f(x) убывает на [х0+дельта] x>x0 следует что f(x)<f(x0) Это значит что х0 максимум функции Аналагично рассматривается случай при смене знака с – на +.

2 условие Пусть f’(x0)=0 и в т.x=x0 существует f”(x0), тогда если f”(x0)<0 то x0-т максимума. если f”(x0)>0, то х0-т. минимума ф

Док-во Рассмотр случай когда f”(x0)>0 т.к f”(x)-производная f’(x) то найдётся такая окрестность т. х0 в которой знак приращения ф. f’(x) совпадает со знаком приращения дальта х. f”(x0)=0 и значит: в указанной окрестности знак f’(x) совпадает со знаком дельта х, т.е при переходе через х0 производная f”(x) меняет знак с – на +, тогда согласно предыдущей теореме х0 т. минимума. Аналогично доказывается про максимум функции.

20

У=f(x) непрерывная функция на [a,b] и дтфференцируемая в интервале называется выпуклой(вогнутой) если при а<=x<=b её график лежит не выше( не ниже) касательной проведённой в любой точке М с координатами (x,f(x))

Теорема. Если функция выпукла(вогнута) на отрезке [a,b] то её график при а<=x<=b расположен не ниже( не выше) хорды АВ, где А(а,f(a)) B(b,f(b))

Док-во: Выберем любое х0 а<=x0<=b проведём касательную в точке М(х0,f(x0)) Допустим функция выпукла на АВ тогда её график при а<=x<=b расположен не выше касательной, проведённой к графику в данной точке. В частности т. А и В расположены не выше касательной, значит и вся хорда АВ расположена не выше касательной. Аналогичн доказывается случай когда вогнута. Если ф. y=f(x) имеет производную в любой внутренней точке хотрезка (а,b) и непрерывна на концах этого отрезка, тогда если на интервале [a,b] выполняется неравенство f”(x)>0, то f(x)-вогнута если f”(x)<0 то f(x)-выпукла

21

Точка перегиба. т.М некоторой линии Г называется точкой перегиба, если существует дуга АВ этой линии содержащая т.М, такая что АМ и МВ расположены по разные стороны от касательной, проведённой к т.М линии Г.

Лемма. Пусть функция y=f(x) определена на некотор промежутке Х и имеет 2 производную в некоторой внутр т.х0 из Х Если f”(x)>0 то график ф.f(x) в некотор окрест х0 расположен не ниже касат. к графику в т.х0 Если f”(x)<0 то график в некотор окрестности х0 расположен не выше касат.

Теорема(необход усл т. перегиба) Для того чтобы график диф. В т.х0 функции f(x) имел перегиб с абсциссой в т.х0 необходимо, чтобы в т.х0 2производная либо не сущ либо равна 0. Док-во Возможн 4 случая: 1 f”(x0)<0 2 f”(x0)>0 3 f”(x0)=0 4 не сущ. В случаях 1 и 2 соглсасн лемме график ф. f(x) расположен по 1 сторону от касат. т.е в этих точках т.х0 не может быть т.перегиба Значит возможно лишь в 3 и 4 слачаях. Теорема( дост усл сущ т. перегиба) Пусть f(x) дифференц в т.х0 и пусть найдётся такая дельта окрест. т.х0 (х0-дельта,х0+дельта), что в интервалах (х0-дельта,х0) и (х0,х0+дельта) сущ. 2 производная f”(x) причём она сохр. Знак на каждом из этих интервалов, тогда если на интервалах (х0-дельта,х0) и (х0,х0+дельта) знаки 2 производной различны то точка графика имеющая абсциссу в т.х0 является точкой перегиба. Если знаки одинаковы перегиба нет.

Асимптота. Прямая l наз. асимптотой кривой у=f(x) если раст от т.М до прямой l при удалении т.М в бесконечность стремиткся к 0.(асимптота сущ. у кривых имеющ сколько угодно удалённ точек) Если сущ. числа х итое при кот функция имеет бесконечные разрывы, то прямые равные х итое называются вертикальными асимптотами Если сущ k=lim(f(x)/x) при х->+-бесконечность и b=lim(f(x)-k*x) при х->+-бескон то прямые называются асимптотами кривой.

22

Комплексным числом z называется выражение z=a+i*b (a,b-дейсв числа, i-мнимая единица i^2=-1) Здесь а-действительная или веществ часть компл числа

b-мнимая часть компл числа. Если а=0, то z=i*b В это случае z-мнимое число; b=0 => z=a – действительное число.

2 компл числа отличающихся только знаком мнимой части называются сопряжёнными

Z=0 если a=0 и b=0

Z1=a1+i*b1 z2=a2+i*b2 называются равными если a1=a2 b1=b2

Всякое компл число можно изобразить на плоскости Оху ввиде точки А(а,b)

Каждой точке плоскости Оху соотвествует компл число вида z=x+i*y

Плоскость на которой изображены компл числа называется плоскостью компл переменной z. Ось Оу на компл плоскости назыв мнимой осью ось Ох действ осью

Комплексное число можно записать в тригонометрической форме z=r(i*sinфи + cos фи) Выражение стоящее справа называется тригоном формой записи комплексного числа r-модуль компл числа , фи- аргумент компл числа r=lzl фи=arctg z. Аргумент компл числа считается положительным если он отсчитывается против час. стрелки, отр. По час срелке. Сопряжённые к.ч имеют разыне модули а их аргументы различны только знаками

23

Сложение компл чисел. Суммой 2 к.ч называется к.ч определяемое равенством z1+z2=a1+i*b1+a2+i*b2

Вычитание. Разностью 2 к.ч называется к.ч которое будет сложеным с к.ч z2 даёт в сумме к.ч z1

Умножение к.ч Под произведением к.ч понимают к.ч, кто получается если мы перемножим эти числа как двучлены по правилам алгебры.

К.ч в тригоном форме z1*z2=r1*r2*((cos(фи1+фи2)+i*sin(фи1+фи2)) Т.о. произв. 2 к.ч есть к.ч модуль кот равен произв модулей к.ч., аргумент равен сумме аргументов со множителем.

Деление к.ч. Деление к.ч. определяется как действие обратное умножению

Чтобы 1 к.ч разделить на 2 к.ч умножают делимое и делитель на к.ч сопряжённое знаменателю

Формула муавра- z^n=r^n(cos(n*фи)+i*sin(n*фи))

Корнем из к.ч. называется такое к.ч. n-ая степень кот равна подкоренному числу

24

Ф. у=F(x) заданную на промеж Х наз. первообразной для ф. у=f(x) заданной на Х если для всех зн. х выполн рав. F’(x)=f(x) Для функции f(x)=x^3 нашли F(x)=x^4/4 но первообраз будет также F(x)=x^4/4+5(+10..+с)

Теорема(о множ всех пеервообраз) Пусть для для f(x) на Х сущ. F(x) тогда f(x) имеет бескон множество первообраз и все эти первообраз имеют вид F(x)+c

Если ф. y=f(x) имеет первообраз y=F(x) на промеж Х то множество всех первообраз назыв неопределён интегралом от ф. f(x)

Теор Диф. от неопределён интеграла равен подынтеграл выражению,а произв. от неопр. Интеграла равна подынетграл. Финкции. Док-во Sf(x)*dx=F(x)+c, где F’(x)=f(x), то (Sf(x)*dx)’=(F(x)+c)’=F’(x)=f(x). d(Sf(x)dx)=(Sf(x)*dx)’=f(x)*dx

Теор Неопр интеграл от производн некотор ф. равен сумме этой функц с произвол постоян.

Док-воТ.к. (F(x)+c)=F’(x), то по опр неопр интеграла имеем SF’(x)*dx=F(x)+c

F’(x)*dx= dF(x) можно записать SdF(x)=F(x)+c

Свойства 1 поястоянный множитель можно вынести за знак интеграла(док-во через диференцирование, т.е подносим интег под знак диф.)

2 Неопр. Интеграл суммы есть сумма неопр интегралов. (док через диф)

25

По частям: пусть имеются ф. u=u(x) v=v(x) Пусть эти ф. дифференц на Х как известно d(uv)=u*dv+v*du Возьмём неопр интег от обеих частей Sd(uv)=Su*dv+Sv*du Sd(uv)=uv+c => uv+c-Sv*du=Su*dv Можно запис и без с

Одно и то же подынтеграл выражение u*dv можно записать разными способами

Поэтому иногда приходится пробовать несколько форм такой записи прежде чем метод приведёт к успеху. Для ф lnx arctgx arcctgx x^n производные имеют более простой вид чем сами ф. Поэтому эти функции удобнее принимать за u

Заменой: Теорема. Если F(x) является первообразной f(x) на некотором промежутке Х, а х=фи(t) диференц на Т знач которой принадлежат Х,то F(фи(t)) первообразная для ф. f(фи(t))*фи’(t) t(-T => SF(x)dx=SF(фи(t))*фи’(t)dt

Док-во Пусть F(x) первообразная f(x) F’(x)=f(x) Sf(x)dx=SF’(x)dx=SdF(x)=F(x)+c

В силу инвариантности формы диф. равенство df(x)=F’(x)dx=f(x)dx Это равенство остаётся в случае когда x=фи(t) Это означает Sf(x)dx=F(x)+c Верна когда x=фи(t)

Т.о Sf(фи(t))d(фи(t))=F(фи(t))+c Sf(фи(t))*фи’(t)d(t)=F(фи(t))+c

Под знак диф Частным случаем т1 является след теорема Если Sf(x)dx=F(x)+c,то Sf(ax+b)dx=1/a*F(ax+b)+c

26

Осн т. алгебры Ф f(x)=A0x^n+a1*x^n-1+..An,где n-целое число или целое рац ф. от х, называется ф.-многочленом(полиномом) А0,А1Аn-коэф комлп или действ числа. Корнем многочлена называется знач пермен х при котором многочлен обращ в 0. Теорема Безу. При делении многочлена на разность х-а получается остаток f(a) Док-во При делении многочлена на разность х-а частным будет явл f1(х) степень которого на 1 меньше чем степень f(x) Остатком будет явл некое число R Можно будет записать f(x)=(x-a)f1(x)+R (1) Равенство 1 верно при всех х<>a Заставим x->a, тогда предел в лев. Части равенств 1 будет равен f(a), а предел правой части равен R Т.к ф f(x) и (x-a)*f1+R равны между собой для всех x<>a то равны и их пределы при x->a Т.е f(a)=R Если а корень f(x) то f(a)=0 и f(x) в этом случае делится без остатка на х-а f(x)=(x-a)f1(x)

Если уравнение имеет вид P(x)=0 где P(x)-многочлен степени n то это уравнение назыв алгибрарич урав n-ой степени

Всякий многочлен n-ой степени разлогается на n-линейных множителей вида n-a и множитель равный коэф при x в степени n f(x)=A0(x-a1)(x-a2)..(x-an). Под рац дробью понимают отношение двух многочленов . Будем предполагать что эти многочлены не имеют общих корней. Если степень числ. ниже ст. знам. то дробь правильная. Если дробь неправильная то можно её представить как многочлен+прав. дробь. Правильные рац дроби вида: 1 A/x-a 2 A/(x-a)^k

3 Mx+N/x^2+px+q 4 Mx+N/(x^2+px+q)^k называются простейшими рац дробями

1 S A/x-a*dx=A*Sdx/x-a=A*lnlx-al+c

2 S A/(x-a)^k=A*S(x-a)^-k*dx=A*(x-a)^(-k+1)/(-k+1)

3 S Mx+N/x^2+px+q dx=M/2*S(2x+p)+(N-Mp/2)/x^2+px+q dx …

4…

27

Рассмотр задачу по определ площади криволинейн трап приводящей к опр определ интеграла. Опр Фигура огран кривой y=f(x) отрезком [a,b] оси Ох и прямыми х=а и x=b назыв криволинейн трапецией. Пусть f(x)>0 na [a,b] для вычисл площади S криволинейн трап разобьём отрезок на N произвольных частей востановим из этих точек перпендикуляр до пересечения с кривой f(x)

Найдём значения y0=f(x0),y1=f(x1) yn=f(xn). В результате этих дейст в мы получим разбиение площади S на сумму площадей элементарных криволинейн трапеций Пусть дельта х итое= х итое+1 – х итое На отрезках дельта х0 дельта х1 дельта х n-1 возьмём произвольные точки с0 с1 с2 с n-1 и восстановим из них перпендикулярыдо пересечения с f(x) получим знач f(c0) f(c1)..f(c n-1) Построим ступенчатую фигуру сост из прямоугол имеющ своим основанием дельта х0 дельта х1 дельта х n-1 а высотой f(c0) f(c1)..f(c n-1) Эта ступенчатая ф. ограничена ломаной А0 А1 А2т-1 Очевидно что при неогранич увеличении N и уменьшении max дальта х ломаная огранич ступ фигуру приближает к заданной кривой f(x) а ттем самым Sступ приближ к S криволинейн трап. Т.е S криволинейн трап следует назвать предел к которому -> S ступ ф. при стремлении max дельта x к 0

Здесь Площадь ступ фиг называется интег суммой. Определённый интеграл – предел интегральной суммы при max дельта х->0

Свойства

1 Определённый интеграл не зависит от обознач переченной Sf(x)dx=Sf(t) dt

2 Интеграл от суммы ф равен сумме интегралов(доказ через предел)

3 Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла(док через редел)

4 Если верхний и нижний предел поменять местами то изменится знак значения

5 если пределы равны то интег равен 0

6 интеграл от dx равен b-a

7Если подынтег ф на отрезке сохр знак, то интеграл представляет собой число этого знака

8 Знач опр интег заключено между произведениями найбольш или наименш знач подынтеграл ф. на длину интегрирования

9 Опр интеграл от непрерыв ф. равен произведению знач этой функции в нек. Промежутке т.с отрезка интегрирования на длину отрезка.

28

Th. производная от интеграла по переменному верхнему пределу x равна подынтегральной функции

Формула Ньютона-Лейбница

Если f(x) непрерывная ф. на [a,b] тогда, ,где F(x) любая из первообразных ф.

Рассмотрим ф. ,т.к. она явл-ся первообразной для ф. f(x) то её нужно искать среди ф-ий где F(x) – одна из первообразных. Т.к. то получаем , тогда

Комплексным числом z называется выражение z=a+i*b (a,b-дейсв числа, i-мнимая единица i^2=-1) Здесь а-действительная или веществ часть компл числа

b-мнимая часть компл числа. Если а=0, то z=i*b В это случае z-мнимое число; b=0 => z=a – действительное число.