Раздел IV. Элементы теории вероятностей в социологических исследованиях. Лекция 2 Случайные события. Понятие вероятности.

Цель:

1. Ввести понятие случного события;

2. Изучить операции над событиями;

3. Ввести классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события и познакомить с их свойствами;

План:

1. Случайные события. Операции над событиями.

2. Классическое определение вероятности.

3. Статистическое и геометрическое определение вероятности.

1. События. Операции над событиями

В жизни мы постоянно встречаемся со случайными явлениями. Например, изменение погоды, выигрыш в лотерею, появление автобуса на остановке, курсы валют на данный момент и т.д. При многократном наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности.

Теория вероятностей ‑ математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений, т.е. таких явлений, которые можно, по крайней мере принципиально, наблюдать много раз.

Опытом (экспериментом, испытанием) назовём осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.

Опыт будем считать случайным, если его результат до окончания опыта нельзя точно предсказать. Примерами случайного опыта являются: бросание монеты, стрельба по цели, подбрасывание игрального кубика и т.д.

Различные результаты опыта назовем исходами. Рассмотрим эксперимент, который может окончиться одним из n различных исходов . Множество всех элементарных исходов эксперимента называется пространством элементарных событий. Пространство элементарных событий обозначается буквой .

={ }.

Любое подмножество пространства элементарных событий будем называть событием. Событие называется случайным, если оно может наступить или не наступить в данном опыте. События обозначаются заглавными латинскими буквами и т.д.

Пример 1. Испытание ‑ бросание монеты. Случайное событие ‑ выпадение герба или цифры. Испытание ‑ студент сдает экзамен. Случайное событие ‑ он получил оценку 5.

Пример 2. Записать пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в бросании двух монет.

Решение. Пространство элементарных событий данного эксперимента образуют равновозможные элементарные исходы: (00) – на первой монете выпал «орел» и на второй тоже; (0Р) – на первой монете выпал «орел», а на второй «решка», (Р0) – на первой монете «решка», а на второй «орел», (РР) – на первой и на второй монетах «решки». Таким образом .

Пример 3. Испытание ‑ бросание игральной кости. Случайное событие ‑ число очков, выпавшее на верхней грани кубика. Пространство элементарных событий . Событие состоит из трех исходов, т.е. .

Событие, которое всегда произойдет в данном опыте, называется достоверным. Достоверное событие обозначается той же буквой , что и пространство элементарных событий.

Пример 4. Пусть в ящике находятся 5 красных шаров. Тогда событие А – «из ящика извлекли красный шар» будет достоверным, так как в ящике были только красные шары.

Событие, состоящее из пустого множества исходов, называется невозможным и обозначается Ø.

Пример 5. Пусть в ящике находятся 5 красных шаров. Тогда событие А – «из ящика извлекли синий шар» будет невозможным, так как в ящике нет шаров синего цвета.

Два события и называются несовместными, если они одновременно произойти не могут. Несовместность более чем двух событий означает их попарную несовместность.

Два события и называются противоположными, если в данном испытании А и В одновременно произойти не могут, но одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию , обозначают . Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

Пример 6. Пусть испытанием является бросок баскетболиста по корзине, событие А ‑ {баскетболист попал}. Тогда ‑ {баскетболист не попал}.

Полной группой событий называется несколько событий, если они попарно несовместны и в результате опыта происходит только одно из них.

Пример 7. Примеры полных групп событий: выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти, шести очков при одном бросании игральной кости.