1.4 Бесконечно малые последовательности.

Оределение. Последовательность {x_n} называется бесконечно малой, если  , то есть если  .

         Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Если {x_n} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/x_n}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {x_n} – бесконечно малая последовательность и все x_n отличны от нуля, то {1/x_n} есть бесконечно большая последовательность.

1.5 Сходящиеся последовательности.

Определение. Если существует конечный предел  , то последовательность {x_n} называется сходящейся.

Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.

1. Сходящаяся последовательность ограничена.

2.  .

3.  .

4.  .

5. Если  , то  .

1.6 Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1. Если, начиная с некоторого N, все x_n  b, то  .

Следствие. Если, начиная с некоторого N, все x_n  y_n,  то  .

Важное замечание. Заметьте, что если, начиная с некоторого N, все x_n > b, то  , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.

Теорема 2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N, выполнены следующие свойства

1.  ;

2.  ,

то существует  .

1.7 Предел монотонной последовательности.

         Определение.

Последовательность {x_n} называется монотонно возрастающей, если для любого n    x_n+1  x_n.

Последовательность {x_n} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n    x_n+1 > x_n.

Оба этих случая объединяют символом x_n­.

Последовательность {x_n} называется монотонно убывающей, если для любого n    x_n+1  x_n.

Последовательность {x_n} называется строго монотонно убывающей, если для любого n    x_n+1 < x_n.

Оба этих случая объединяют символом x_n.

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {x_n} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее  существует конечныйпредел, равный sup{x_n} ( inf{x_n} ).

2 Если последовательность {x_n} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее  существует предел, равный + ( - ).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

1.8 Подпоследовательности

         Пусть имеется некоторая последовательность {x_n}={x₁, x₂, x₃, ... }. Рассмотрим последовательность n₁, n₂, n₃, ... , где

         а) все n_i  - целые положительные числа;

         б) n_i­+

и рассмотрим последовательность  . Она называется подпоследовательностью  последовательности {x_n}.

         Теорема.

Если последовательность {x_n} сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если {x_n} – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано- Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

         На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов –

Признак сходимости Больцано-Коши.

Для того, чтобы у последовательности {x_n} существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

.

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью,сходящейся в себе.