II. Маккензи торларының кейбір ерекшеліктері
2.1 Торлардың конгруэнциялар торлары
L торындағы θ эквивалентті қатынасы (яғни рефлексивті, симметриялы және транзитивті бинарлық қатынас) осы тордағы конгруэнция деп аталады, егер а0 ≡ b0 (θ) мен а1 ≡ b1 (θ) екі қатынасынан а0 Λ а1 (θ) екі қатынасы (стабильдік қасиеті) алынса, мұндағы а0 , а1 , b0 ,b1 є L. Конгруэнциялардың қарапайым мысалдары ретінде төмендегідей анықталатын 0 – нөлдік пен 1 – бірлік конгруэнцияларын келтіруге болады :
x ≡ y (0) < = > x = y.
x ≡ y (1) барлық x пен y үшін.
Кез келген бинарлық қатынастың конгруэнция болуының белгісі былай анықталады :
L торындағы рефлексивті бинарлы қатынас конгруэнция
болады, сонда тек сонда ғана, егер төменгі үш орындалса (барлық x, y, f, t є L үшін) :
x ≡ y (θ) < = > x Λ y ≡ x V y (θ),
x ≤ y ≤ f, x ≡ y (θ), y ≡ f (θ) → x ≡ f (θ),
x ≤ y, x ≡ y (θ) → x Λ t ≡ y Λ t (θ), x V t ≡ y V t (θ).
С(L) арқылы " " енгізу қатынасына қатысты ішінара реттелетін L торының барлық конгруэнциялар жиынын белгілейміз. Сонда С(L) жиыны L торының барлық конгруэнциялар торы деп аталады.
2.1 M3, l1, l2,…, l15 торларының конгруэнциялар торлары
1.С(m3) торы
Ең алдымен M3 диамант торының барлық конгруэнцияларын табамыз (1-сурет)
Конгруэнцияларды анықтау үшін стабильдік қасиетті қажетінше пайдаланамыз. Осы әдісті M3 диамантына барынша қолданамыз. Конгруэнция рефлексивті және транзитивті болғандықтан кез-келген торда нольдік пен бірлік конгруэнциялары міндетті түрде болады. Осы тордағы аталған екі конгруэнцияны мына түрде енгізуге болады:
θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5 } θ1 = { 1 2 3 4 5 }
Енді M3 торында θ0 мен θ1 конгруэнцияларынан басқа конгруэнциялар бар ма, жоқ па тексерейік
1 ≡ 2 (θ), θ є С(M3) болсын. Ары қарай, мүмкіндігінше стабильді қасиетті қолданайық.
1 V 3 ≡ 2 V 3 (θ), бірақ ), 1 V = 3, 2 V 3 = 5 қабырғаларын таяқшамен болғандықтан 3 ≡ 5 (θ).Осыларға ұқсас алғашқы 1 ≡ 2 (θ) қатынасынан алынатын барлық қатынастарды тор диаграммасында сәйкес белгілеу арқылы көрсеткен ыңғайлы (1-сурет).
1 V 4 ≡ 2 V 4 (θ) → 4 ≡ 5 (θ),
4 Λ 3 ≡ 5 Λ 3 (θ) → 1 ≡ 3 (θ),
1 V 2 ≡ 3 V 2 (θ) → 2 ≡ 5 (θ),
2 Λ 4 ≡ 5 Λ 4 (θ) → 1 ≡ 4 (θ),
Біз барлық мүмкін қатынастарды тапқанымыз көрініп тұр, сонымен θ0 = θ1 конгруэнциясын алдық.
В.1 кестесі көмегімен басөа конгруэнциялардың жоқ екенін байқаймыз, яғни k ≡ n (θ), k,n = 1,2,3,4,5 үшін алынған конгруэнциялар табылған конгруэнцияларға сәйкес келулері керек, кері жағдайда конгруэнциялар саны толық емес.
4 кестемен С(M3) конгруэнциялар торы берілген, осы кесте көмегімен
С(M3) конгруэнциялар диаграммасын қурамыз (С.1-сурет)
Λ\V |
θ0 |
θ1 |
θ0 |
|
θ1 |
θ1 |
θ0 |
|
Алдағы уақытта қарастыратын жағдайлардың өте көптігінен конгруэнцияларды табу көрсетілмейді.
2. С(L1) торы
L1 торының барлық конгруэнцияларын табамыз (А.2-сурет).
θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ,
θ1 = { 1 2 3 5, 4 6 7 } U θ0,
θ2 = { 1 3, 2 5,4 6, 7 } U θ0,
θ3 = { 1 3 4 6, 2 5 7 } U θ0,
θ4 = { 1 2 3 4 5 6 7 } U θ0 .
B.2 кестесі көмегімен басқа конгруэнциялар жоқ екеніне көзімізді жеткіземіз.
5 кестемен С(L1) конгруэнциялар торы анықталады, осы кесте көмегімен С(L1) конгруэнциялар торы диаграммасын құрамыз (С.2-сурет).
5-кесте
Λ\V |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ0 |
|
θ1 |
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ1 |
θ0 |
|
θ1 |
θ4 |
θ4 |
θ2 |
θ0 |
θ2 |
|
θ3 |
θ4 |
θ3 |
θ0 |
θ2 |
θ2 |
|
θ4 |
θ4 |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ3 |
|
3. С(L2) торы
L2 торының барлық конгруэнцияларын табайық (А.3-сурет).
θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ,
θ1 = { 1 , 2 5, 3 6, 4 7 } U θ0,
θ2 = { 1 2 5, 3 4 6 7 } U θ0,
θ3 = { 1 3 6, 2 4 5 7 } U θ0,
θ4 = { 1 2 3 4 5 6 7 } U θ0 .
B.3 кесте көмегімен басқа конгруэнциялар жоқ екен көреміз. 6 кестеде С(L2) торының құрылымы берілген, енді осы кестені пайдаланып С(L2) конгруэнциялар торының диаграммасын саламыз (С.3-сурет).
6-кесте
Λ\V |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ0 |
|
θ1 |
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ1 |
θ0 |
|
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ2 |
θ0 |
θ1 |
|
θ4 |
θ4 |
θ3 |
θ0 |
θ1 |
θ1 |
|
θ4 |
θ4 |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ3 |
|
4. С(L3) торы
L3 торының барлық конгруэнцияларын анықтайық (А.4-сурет).
θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ,
θ1 = { 1 2, 3 5 6, 4 7 } U θ0,
θ2 = { 1 2 3 5 6, 4 7 } U θ0,
θ3 = { 1 2, 3 4 5 6 7 } U θ0,
θ4 = { 1 2 3 4 5 6 7 } U θ0 .
B.4 кесте көмегімен басқа конгруэнциялар жоғын білеміз. 7 кестеде С(L3) конгруэнциялар торының құрамы көрсетілген, осы кестені пайдаланып С(L3) конгруэнциялар торының диаграммасын құрамыз (С.4-сурет).
7-кесте
Λ\V |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ0 |
|
θ1 |
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ1 |
θ0 |
|
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ2 |
θ0 |
θ1 |
|
θ4 |
θ4 |
θ3 |
θ0 |
θ1 |
θ1 |
|
θ4 |
θ4 |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ3 |
|
5. С(L4) торы
L4 торының барлық конгруэнцияларын табайық (А.5-сурет).
θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, } ,
θ1 = { 1 2 3 5, 46 } U θ0,
θ2 = { 1 2 3 4 5 6 } U θ0,
B.5 кестесі көмегімен басқа конгруэнциялардың жоқтығын анықтаймыз.
8 кестеде С(L4) конгруэнциялар торының құрылымы көрсетілген, осы кестені қолданып С(L4) торының диаграммасын құрамыз (С.5-сурет).
Λ\V |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ0 |
|
θ1 |
θ2 |
θ1 |
θ0 |
|
θ2 |
θ2 |
θ0 |
θ1 |
|
8-кесте
5. С(L5) торы
L5 торының барлық конгруэнцияларын табайық (А.6-сурет).
θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, } ,
θ1 = { 1 5, 2 3 4 6 } U θ0,
θ2 = { 1 2 3 4 5 6 } U θ0,
B.6 кестесі көмегімен басқа конгруэнциялардың жоқтығын байқаймыз.
9 кестеде С(L5) конгруэнциялар торының құрылымы көрсетілген, осы кестені қолданып С(L5) торының диаграммасын құрамыз
(С.6 -сурет).
9-кесте
Λ\V |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ0 |
|
θ1 |
θ2 |
θ1 |
θ0 |
|
θ2 |
θ2 |
θ0 |
θ1 |
|
5. С(L6) торы
L6 торының барлық конгруэнцияларын табамыз (А.7-сурет).
θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ,
θ1 = { 1 2 3 4 6 7, 5 8 } U θ0,
θ2 = { 1 5, 2 3 4 6 7 8 } U θ0,
θ3 = { 1 2 3 4 5 6 7 8 } U θ0,
θ4 = { 1, 2 3 6, 4 7, 5, 8 } U θ0,
θ5 = { 1, 2 4, 3 6 7, 5, 8 } U θ0,
θ6 = { 1, 2 3 4 6 7, 5, 8 } U θ0,
θ7 = { 1, 2, 3 6, 4, 5, 7, 8 } U θ0
B.7 кестесі көмегімен басқа конгруэнциялардың жоқтығын байқаймыз.
10 кестеде С(L6) конгруэнциялар торының құрылымы көрсетілген, осы кестені қолданып С(L6) торының диаграммасын құрамыз
(С.7 -сурет).
10 – кесте
Λ\V |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ5 |
θ6 |
θ7 |
θ0 |
|
θ1 |
θ2 |
θ3 |
θ4 |
θ5 |
θ6 |
θ7 |
θ1 |
θ0 |
|
θ3 |
θ3 |
θ1 |
θ1 |
θ1 |
θ1 |
θ2 |
θ0 |
θ6 |
|
θ3 |
θ2 |
θ2 |
θ2 |
θ2 |
θ3 |
θ0 |
θ1 |
θ2 |
|
θ3 |
θ3 |
θ3 |
θ3 |
θ4 |
θ0 |
θ4 |
θ4 |
θ4 |
|
θ6 |
θ6 |
θ4 |
θ5 |
θ0 |
θ5 |
θ5 |
θ5 |
θ7 |
|
θ6 |
θ5 |
θ6 |
θ0 |
θ6 |
θ6 |
θ6 |
θ4 |
θ5 |
|
θ6 |
θ7 |
θ0 |
θ7 |
θ7 |
θ7 |
θ7 |
θ7 |
θ6 |
|