Доказательство.
Левые концы отрезков последовательности (1) образуют неубывающую последовательность: , а правые концы – невозрастающую последовательность: Так как , то – ограничена сверху; так как то - ограничена снизу.
Так как - неубывающая и ограничена сверху, то по теореме 1 § 7 она имеет предел: , причем . (2)
По теореме 1 § 7 , . (3)
Тогда из соотношения .
Общее значение a и b обозначим через с. Из (2), (3) следует, что , то есть точка с принадлежит всем отрезкам последовательности (1).
П окажем, что с единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1). Допустим противное. Пусть $точка с1¹с: . Следовательно, должно выполняться неравенство , значит, , что противоречит условию теоремы.
Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Рассмотрим последовательность (1)
Выберем произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел
Выберем из последовательности (1) члены с номерами , получим последовательность (2)
Последовательность (2) называется подпоследовательностью (или частичной последовательностью) последовательности (1).
Теорема 2. (Больцано-Вейерштрасса) Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство.
Пусть (1) - ограниченная последовательность, то есть
.
Рассмотрим отрезок , он содержит все члены последовательности (1).
Положим, , длина равна длине . По крайней мере, один из них содержит бесконечно много членов последовательности (доказательство от противного), обозначим его . (Если окажется, что оба отрезка содержат бесконечное число членов (1), то выбираем любой из них).
Отрезок делим на 2 равные части и через обозначаем ту из них, которая содержит бесконечное множество число членов последовательности (1). Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим последовательность вложенных отрезков: (3)
Каждый отрезок содержит бесконечно много членов последовательности (1).
Последовательность (3) является стягивающейся, так как . Следовательно, по теореме § 8 существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам последовательности (3), то есть , .
Построим подпоследовательность последовательности (1), сходящуюся к числу с , следующим образом. Возьмем какой-нибудь из членов последовательности (1), содержащийся на и обозначим его , на возьмем какой-либо член последовательности (1) и обозначим его и так далее. Это всегда можно сделать, так как все эти отрезки содержат бесконечно много членов последовательности(1). Получим подпоследовательность последовательности (1).
, так как , то по теореме о пределе промежуточной последовательности .
Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
Фундаментальные последовательности. Теорема о фундаментальности сходящейся последовательности.
Определение. Последовательность (xn) называется фундаментальной, если выполнено . (1)
Теорема (критерий Коши сходимости числовой последовательности)
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть (xn) сходится, т.е. $ Þ (2)
Возьмем "m>N, для него тоже выполнено неравенство (2): . Тогда
.
Следовательно (по определению) (xn) фундаментальна.
2) Достаточность.
Пусть (xn) фундаментальна, т.е. Þ .
Отсюда xm-e<xn<xm+e "n>N. Т.е., начиная с номера N+1, последовательность ограничена. Выберем .Тогда , т.е. последовательность (xn) ограничена. Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность : . Покажем, что тогда и .
Þ , и одновременно nk>N.
Т.к. в неравенстве (1) m>N, то возьмем в нем m=nk, получим .
Тогда "n>N. Это означает, что , т.е. последовательность (xn) сходится.
Определение числа e.
Лемма (неравенство Бернулли) , выполняется
.
Доказательство.
(Методом математической индукции)
1) n=1: - верно.
2) Пусть неравенство верно для n=k, то есть . Докажем, что оно верно и для n=k+1. Умножим обе части на 1+h. Так как , то . Раскроем справа скобки:
, так как .
То есть неравенство верно для n=k+1.
Из 1), 2) следует, что , выполняется .
Рассмотрим последовательность : . Докажем, что она имеет предел.
1) Рассмотрим последовательность : .
Докажем, что она имеет предел. Для этого покажем, что
а) не возрастает,
б) ограничена снизу.
а)
;
Тогда
, следовательно, не возрастает.
б) , значит, ограничена снизу.
Из а) и б) что имеет предел (по теореме 1 § 7).
2) .
Так как и , то .
Этот предел принято обозначать буквой е:
.
е- иррациональное число, впервые введенное Эйлером (1707-1783).
е=2,718281828459045…
Предел функции. Эквивалентность двух определений.
Теорема 1. Первое и второе определения предела функции в точке прикосновения множества определения функции эквивалентны.
Доказательство. Докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел по Гейне, то она имеет тот же самый предел в этой точке и по Коши. Пусть , x0 – точка прикосновения множества X и в смысле первого определения предела функции.
Ограничимся здесь случаем конечных x0 и a. Допустим, что предел по Коши не совпадает с пределом по Гейне, т. е.
. (12.1)
Возьмём . Выберем в каждой такой -окрестности точки x0 элемент xn. Тогда, по построению, имеем последовательность . При этом, в силу (4), все элементы последовательности лежат вне -окрестности точки a.
С другой стороны, поскольку в смысле первого определения, то для любой последовательности имеет место равенство . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a, в частности и для выбранной выше -окрестности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N имеет место .
Полученное противоречие доказывает сделанное утверждение. □
Теперь докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел в смысле второго определения, то она имеет в этой точке тот же самый предел и в смысле первого определения. Пусть в смысле предела функции по Коши, , x0 – предельная точка множества X, и пусть . Покажем, что тогда , т. е. точка a является пределом функции f и в смысле определения предела функции по Гейне.
Зададим произвольную -окрестность точки a. Тогда, по условию теоремы,
. (12.2)
Для этой -окрестности найдётся такой номер N, что для всех номеров n>N будет выполняться условие . Но тогда, в силу (5), имеем . Это и означает, что .
Если же x0 – изолированная точка множества X, то функция f непрерывна в этой точке (почему?) и имеет место равенство .
Свойства пределов функций, выражаемые неравенствами.
Обозначение предела
Предел функции обозначается как или через символ предела: . Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.
Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Расширенное правило суммы
Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):
Расширенное правило произведения
Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Предел степенной функции
где степень p - действительное число. В частности,
Если f ( x ) = x, то
Предел показательной функции
где основание a > 0.
Предел логарифмической функции
где основание a > 0.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х0, если
Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0. Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x0 | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде
( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < |х – х0| < δ ) : | f (x) | < ε.
Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x0:
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x0 справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.
Арифметические свойства пределов функций.
Арифметические свойства предела функции в точке.
Если функции f1(x) и f2(x) имеет точке х0 предел А1 и А2, то функции f1(x) + f2(x), f1(x) f2(x), f1(x) / f2(x) имеют пределы А1 + А2, А1А2, А1/ А2.
Теорема о пределе сложной функции.
Пусть числовые функции f (x) и g (x) определены на некотором интервале, быть может, кроме точки х0 этого интервала, и имеют конечные пределы в этой точке
и
Тогда
если | A | < ∞, то функция f (x) ограничена в окрестности точки х0. Доказательство. Так как
то
( ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x0 | < δ ) : | f (x) − A | < ε
Из этого определения следует ограниченность функции: A - ε < f (x) < A + ε в окрестности x0– δ < x < x0 + δ, что и требовалось доказать.
Односторонние пределы, связь с пределом функции.
Односторо́нний преде́л — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва)
Монотонные функции. Теорема о пределе монотонной функции.
Функция называется возрастающей на отрезке [а, b], принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции
x2 > x1→ f (x2) > f (x1) х1, x2 [a, b].
Функция называется убывающей на отрезке [a, b], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции
x2 > x1→ f (x2) < f (x1) х1, x2 [a, b].
Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями. Участки возрастания функции на рисунке отмечены синим цветом (в чёрно белом варианте более толстым форматом).
Пусть функция — монотонна и ограничена в проколотой окрестности точки . Тогда в этой точке у функции существует односторонний предел.
Доказательство:
Рассмотрим левосторонний предел и будем считать, что функция возрастает.
Так как — ограничена, то .
Докажем, что , используя свойства .
Тогда так как , тогда для таких .
В качестве можно брать , тогда предел существует по определению.
Первый замечательный предел и его следствия
Второй замечательный предел и его следствия.
или
Следствия
для ,
Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций, выражаемые неравенствами и равенствами.
Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Теорема о непрерывности и разрывах монотонной функции.
Непрерывность и разрывы монотонной функции.
Теор.5.5.1. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.
Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х0), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х0)), оно имеет верхнюю грань М*, обладающую тем свойством, что для 0 х1[a, х0), в котором f(х1) М* . По монотонности функции и по определению верхней грани для х: х1х х0 справедливо неравенство М* f(х1) f(х) М*, что означает выполнение условий существования с = х0- х1. При этом возможны два варианта: либо f(х0)=М*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х0; либо f(х0)М*, тогда f(х) имеет в точке х0 скачок, т.е. разрыв первого рода.
Следствие: если множество значений монотонно возрастающей на отрезке [a,b] функции f(х) полностью заполняет отрезок [f (a), f( b)] (т.е. для у[f (a), f( b)] х[a,b] такой, что f(х)= у), то эта функция непрерывна, легко доказать теперь от противного. Если в точке х0 имеется скачок, то f(х) не может принимать значений, попадающих в интервал (f(х0-0), f(х0)).
Ограниченные функции. Первая теорема Вейерштрасса.
Первая теорема Вейерштрасса: если функция f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке.
Так как по условию функция f(x) непрерывна на [a,b], то она непрерывна в каждой точке этого отрезка.
.
Семейство этих интервалов будет представлять собой покрытие отрезка [a,b].
В силу принципа Бореля-Лебега из этого покрытия отрезка [a,b] можно выделить конечное подпокрытие:
Пусть m=min{ },
M=max{ }/
Тогда . Теорема доказана.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своего наибольшего и наименьшего значений: если функция f(x) непрерывна на [a,b], то найдется такая точка , в которой функция достигает своего максимума, найдется такая точка , в которой функция достигает своего минимума.
Доказательство:
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда в силу теоремы 1 она ограничена на этом отрезке. Следовательно, ограничено множество значений функции. Тогда в силу принципа верхней грани это множество обладает точной верхней и точной нижней границами.
Обозначим: и покажем, что и будет наибольшим значением функции f(x) на отрезке [a,b]: .
Предположим противное, то есть .
Так как , то f(x)< .
-f(x)>0
введем в рассмотрение функцию . Функция непрерывна на [a,b], так как -f(x) 0. Тогда, в силу первой теоремы Вейерштрасса, функция ограничена на [a,b].
<M > , где >0