25. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Существует система событий (гипотез) ( Н₁, Н₂ ...Н_n ), тогда события А вычисляются по формуле полной вероятности

, где - вероятность гипотезы. - условная вероятность события А при выполнении гипотезы ( .. Говорят она полная, если события попарно несовместны. Сумма вероятности всегда = 1. (напр. Вероятность того, что выпадет орел ½, как и решки тоже ½. В сумме дают единицу).

Существует 2 условия:

1. Р ( H_{i *} H_j) =0

2. р(Н₁) + р(Н₂)+…+р(Н_n)=1

Полная вероятность события А равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.

Пример: лучше мне не написать.

На парах мы записывали это в таблицу, тогда:

	Р(Нi)	P(А I Нi)	Р(Нi) * Р(А I Нi)
Р(Н1)		0,9	0,459
Р(Н2)	0,24	0,8	0,192
Р(Н3)	0 ,25	0 ,7	0 ,175

Сумма этого столбца и есть ответ Р(А)=0,826.

Если в дано число записано в процентах, то его переводят в число (те делят на 100)

Сумма этого столбца обязательно должна равняться единице.

Если в условии сказано найти что-то еще: напр. Найти вероятность того, что деталь сделана на 1 станке,

то применяем формулу Байеса:

=

0,9 *0,51

0,826

0, 5556

Формула Байеса

Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны.

«Физический смысл» и терминология

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии). Н₁+…+ Н_n – система гипотез. (пример разобран выше)

26. Дискретная случайная величина, ее характеристики.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями (зависит от закона распределения).

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, в виде формулы (аналитически) и графически.

Пример из инета: У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

Пример из лекции: Пример случайной величины мы рассматривали на примере монеток: О – орел, Р – решка. -))

Случайной величиной называют числовую функцию на пространсве элементарных исходов Ω

Ω={ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР} Х - число орлов.

Хк	0	1	2	3
Рк	1/8	3/8	3/8	1/8

Дискретная величина зависит от закона распределения.

Х - упорядоченный набор чисел. (Х_к , Р_к) - Х_к – «пробегат» по всем значениям Х, Р_к – вероятность этих значений.Р_к=Р(Х=х_к).

Также распределение можно записать графически-многоугольник.

1 2 3			ХК

Р_К

3

2

1

0

Функцией распределения F(x) называют функцию, созданную следующей функцией:

F(x) = P(X-x_к)

для дискретной случайной величины F(x) = P_К , (х_к < Х)

Дискретный (непрерывный) график, строится по отдельным точкам.

.

.

1 2

F

-

+

27. Функция распределения случайной величины, ее свойства.

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(Х) = F_х (Х) = P(x < Х) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < Х) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее Х.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

• F(Х) определена на всей числовой прямой R;

• F(Х) не убывает, т.е. если Х1 Х2, то F(Х1) F(Х2);

• F(-∞)=0, F(+∞)=1, т.е. и ;

• F(Х) непрерывна справа, т.е .

Пример. Найти функцию распределения случайной величины .

Решение: Ясно, что если , то F(x)=0, так как не принимает значений, меньших единицы. Если , то ; если , то . Но событие <3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Итак для имеем F(x)=1/3. Аналогично вычисляются значения функции в промежутках , и . Наконец, если x>6 то F(x)=1, так как в этом случае любое возможное значение (1, 2, 3, 4, 5, 6) меньше, чем x. График функции F(x) изображен на рис. 4.