1.Комплексные числа,действия над ними, геометрическое толкование

Число α=a+bi,где a,bϵR, i²=-1называется комплексным, а=Reα, b=Imα. Множество всех КЧ обозначается C.Очевидно что RcC, α=a+0i-множ.действ.чисел.

Действия:

α=a+bi, β=c+di

«+» α+β=a+c+(b+d)i;

«-» α+β=(a-c)+(b-d)i;

«*» α*β=a*c+bi*с+a*di+b*di²=(ac-bd)+(bc+ad)i

Деление определяется как действие,обратное умножению: α/β-? Это значит найти γ которое при умножении на β дает α. γβ=α

γ=x+iy (x+iy)(c+di)=a+bi xc+yci+xdi-yd=a+bi

xc-yd+(yc+xd)i=a+bi

a=cx-dy; Система из 2 лин.уравнений с 2 неизвестными с определителем

b=cy+dx;

с²+d²≠0 т.к. иначе β станет =0 а на 0 делить нельзя.

∆≠0 значит система имеет единственное решение (х;у) и единственным образом определяется число γ=x+iy.

α=a+bi и α=a-bi – сопряженные

Свойства: α*α=a²+b² ϵR , α+α=2α ϵR

Модулем КЧ называется действ.число вида

Свойства: ; ; ; деление аналогично

!Привести пример деления! Множество С образует линейное пространство, ноль которого КЧ 0+0i, а единица 1+0i.

2. ФКП. Предел и непрерывность ФКП.

Опр.: если D-некоторое мн-во точек в комплексной плоскости и каждому числу z=x+iy принадл. D поставлено в соответствие единств. комл. число W=U+iV, то говорят, что на мн-ве D определена однозначная ФКП. W=f(z)=U(x;y)+iV(x;y)

Ур-ие |z-z0|=R задает окружность с центром в т. z0 и радиусом R. arg(z-z0)=φ.

Основные элементарные ф-ии:

zⁿ=(x+iy)­ⁿ e^z=e^x+iy=e^x*e^iy=e^x(cosy+isiny)

cosz=(e^iz+e^-iz)/2 sinz=(e^iz-e^-iz)/2i chz=(e^z+e^-z)/2

shz=(e^z-e^-z)/2 tgz=sinz/cosz... ctg th cth

Lnz=ln|z|+i(argz+2πk) arcsinz=-iLn(iz+(1-z²)^1/2

arccosz=-iLn(iz+(z²+1)^1/2 arctgz=-(i/2)Ln(i-z)/(i+z) (z≠±i)

arcctgz=(i/2)Ln(z-i)/(i+z) (z≠±i)

Ф-я e^z периодическая, Т=2πin – период.

Sin cos могут превосходить по модулю единицу.

Опр.: пусть z₀-некоторое комплексное число.

Число с назыв. пределом ф-и f(z) при z→z₀, если для любого ε>0, существует δ>0, что как только z-z₀< δ, выполняется |f(z)-c|< ε.

На ФКП переносятся известные св-ва предела ф-ии 2 переменных. Если ФКП фи(z) и пси(z) имеют предел при z→z₀, то имеет предел +,-,*, / этих ф-ий.

Опр.: число с назыв. пределом ф-ии f(z) при z→∞, если для любого ε>0 существует δ>0, что как только |z|>δ |f(z)-c|<ε/

Опр.: lim_z→z0f(z)=∞, если для любого ε>0 существует δ>0, что как только |z-z₀|<δ |f(z)|>ε.

Опр.: ф-я W=f(z)=U(x;y)+iV(x;y) назыв. непрерывной в т. z₀, если для нее выполняется: lim_z→z0f(z)=f(z₀)

Зам1.: непрер. в т. z0 ф-я дБ определена в самой этой точке и некоторой ее окрестности и д. выпол. рав-во.

Зам2.: непрерывность f(z) эквивалентна непрерывности U и V.

3.Решение нелинейных.Метод деления отрезка пополам,хорд,касательных,простой итерации

Прям.методы позвол.записать корни в виде нек.конечн.соотнош-я,формулы.Больш ур-й не могут быть решены прям.методами,для их реш-я исп-ют итерац.методы. Алгоритм нахождения корня с пом итерац метода:

1)Отыскание приближ.знач-я корня или содерж-го его отрезка

2)Уточнение приближ.знач-я до нек.заданной степени точности

Приближ.знач-е корня можбыть найдено из физ.сображ,графически и т.д.Если такие априорн.оценки исходного приближ-я провести не удается,то находят 2 близко распол.точки a и b,в котор.непрерывная f(x) принимает знач-я разных знаков.

[I] Отрезок попалам Итерац процесс происходит до тех пор пока значение ф-ии f(x)после n-ой оперерациии не станет меньше по модулю чем ε (C_n-1-C_n)< ε

[II]Метод хорд:Пусть на [a;b] через точки (a;F(a)) и (b;F(b) проходит прямая с канонич.ур-ем находим пересеч.этой прямой с осью абсцисс т.е. y=0: ,сравниваем знаки F(a),F(b),F(C₀),выбираем где знаки разные,затем провод-ся след.итерация: продолжаем процесс до тех пор пока |F(Cn)|<ε.

[III]Метод касательных:В отлич.от предыдущ.здесь провод-ся касательная к графику ф-ции.Пусть C₀ некое нач.приближение(не нужно выделять отрезок). Строим ур-е касательной y-F(C₀)=F'(C₀)(x-C₀) откуда из усл-я y=0 находим приближения: критерий остановки: F(Cn)<ε.

[IV]Метод простой итерации:если удалось ур-е переписать в виде F(x)=0  f(x)=x то выбрав нач.приближение C₀ можно построить итерац.процесс

C₀: C_n+1=f(C_n), достоточным условием сходимости такого метода явл-ся условие |f’(C_n)|<1 и итерац.процесс прекращ-ся если |C_n+1-C_n|<ε

4.Аналитические фкп и связь с гармоническими функциями

Т: Для того чтобы ф-ция f(z)=U(x,y)+iV(x,y) была аналитической на обл D плоскости z, необх и дост чтобы частные производные первого порядка ф-ций U(x,y) и V(x,y) были непрерывны на D и выполнялись условия Коши-Римана.

Пусть на обл D компл.плос-ти z задана аналит. f(z), имеет производные любого порядка на D. Но тогда ф-ции U(x,y) и V(x,y) имеют на D непрерыв частн произв. любого порядка, а первые производные удовлетворяют условиям К-Р.

-оператор Лапласа

Опр:ф-ция U(x,y) имеющая непр частн произв. 2-го порядка на D и удовл.ур-ю Лапласа, называ-ся гармонической на D. То же самое про V(x,y),но она явл.мним частью аналит.ф-ции.

!: f(z)=U+iV,где U и V проивольн гарм на D ф-ции, не всегда явл. аналитично на D. Она будет аналитична если U и V удовлетв на D условиям К-Р.

5. Теорема Коши: если f(z) аналитична в односвяз обл D, то интеграл от f(z) по любому кусочногладк контуру Г, целиком лежащ в D, =0.

Док: т к f(z)=U(x,y)+iV(x,y) аналитическая в обл D, то для ф-ций U(x,y) и V(x,y) выполняются условия К-Р. Согласно формуле (1):

=

В силу теорем о независ-ти криволин.интеграла от пути интегрирования, а именно ; Отсюда следует

Следствия: 1) Т.Коши для многосвязной области

Пусть область D компл.плоск-ти многосвязна и ограничена сложным положительно ориентированным кусочно-гладким контуром Г=Г1+Г2.

Тогда для ф-ции f(z) аналитической в области D=DuГ имеет место равенство

2) Если f(z) аналитическая в односвязной области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек. В этом случае можно применить формулу Ньютона-Лейбница, где Ф(z)-какая-либо из первообразных.

6.Интегральная формула Коши

Т:Пусть f(z) аналитическая в односвязной области D с кусочно-гладкой границей L ориентированной в «+» направлении.Тогда для любой точки z0 внутри контура L имеет место формула Коши:

!:аналитическую функцию достаточно определить на контуре L и по формуле (1) можно получать ее значения в любых других точках внутри контура L:

=

7.Интеграл типа Коши

Выражение где f(z) аналитич.ф-ция в замкнутой области D, огранич. положительно ориентированным контуром L, называется интегралом Коши.

Если z0 внутри контура L, то интеграл Коши равн f(z0).

Если z0 вне контура L, то подынтегральная функция

аналитическая и интеграл равен 0.

Пусть теперь L-любая кусочноглад.ориентирова.кривая

не обязательно замкнутая L=l, и φ(z) непрерывная ф-ция,определенная вдоль l. Выражение (1) называется интегралом типа Коши. Она представляет собой ф-цию F(z0) точки z0, определенную вне l.

Т:интеграл (1) типа Коши есть аналитическая ф-ция F(z0) для люб.z0 не принадл.l. Производная порядка n от F(z0) вычисляется по формуле:

(2)

Следствие: если f(z) аналитич.в обл D(имеет непрерывн первую производную на D) то она имеет производные всех порядков и (3)

Док:пусть z0 любая точка внутри D.Тогда по формуле Коши то есть ф-ция f(z0) изображается интегалом типа Коши (l есть γ, f(z)=φ(z)). В силу выше доказанной теоремы f(z) бесконечно дифференцируема и выполняется равенство