1.Погрешн-ть.Абсолютн и относительн.Устойчивость,корректн-ть,сходим-ть.

При решении прикладн.или математ.задач появл-ся погреш-ти 3 типов:

Погреш-ть задачи – связана с приближенным хар-ром исх.содерж-ой модели,в частности с невозмо-тью учесть все факторы в процессе изуч-я моделир-его явл-я а так же ее математ.описания,параметрами кот.обычно служат приближ.числа, например из-за принцип.невозмож-ти выполнения абсолютно точных измерений. Для вычислителя погреш-ть задачи след.считать неустранимой(безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

Погреш-ть метода(устранимая,условная) – связана со способом решения поставл.матем.задачи,появл-ся в рез-те подмены исх.матем.модели другой или конечной послед-тью других,напр. линейных моделей.При создании числ.методов закладыв-ся возмож-ть отслежив-я таких погр-тей и доведения их до сколь угодно малого уровня.

Погреш-ть округлений(действ-ая) – тип обусловлен необх-тью выполнять арифм. операции над числами,усеч-ыми до кол-ва разрядов,зависящего от применяемой вычислит.техники.

Эти 3 погреш-ти дают в сумме полную погрешность решения задачи.

Т.к. 1ый тип погр.не зависит от вычислителя,то он служит ориентиром точности,с кот.нужно решить задачу(нет смысла решать точнее чем диктует неопр.исх.данн).

Пусть А(точное) и а(приближ) близкие числа.

Величина Δа=|А-а| - абсолютная погр, величина δа=Δа/|a| - относительная

Абсолют.погр суммы равна сумме абсолют погр-ей Δ(а±в)=Δа±Δв

δ(ав)= δа+δв ; δ(а/в)= δа+δв

Отсюда видно,что относит.погр.больше,чем ближе числа х1 и х2. Пусть а=2520, в=2518 и Δа=0,5 и Δв=0,5. Тогда δа=0,5/2520=0,0002 и δв=0,5/2518=0,0002.

δ(а-в)=(Δа+Δв)/|a-в|=0,5+0,5/2=0,5

Устойчивость-задача назыв-ся устойчивой по исх.парам-ру х, если решение у непрерывно от него зависит т.е. limΔу=0 при Δх0. Отсутствие устойчив-ти означает,что небольш.погр-ть в исх.данных может привести к большой в решении или вовсе к неверному рез-ту.

Корректность-задача наз-ся поставленной корректно,если для любых значений исх.данных из нек.класса ее решение сущ-ет,единственно и устойчиво по исх.данным.Ее заменяют на основе исх.данных корректной и решают.

Сходимость-при анализе точности вычисл.процесса одним из важн.критериев явл-ся сходимость числ.метода.Она означ.близость получаемого численного решения задачи к истинному.

Пример с синусом (х) – разложить в ряд,подставить пи/6 и 8пи+пи/6 в первых три члена и сравнить значения.

Вывод: справедливость разложения тем точнее, чем ближе х к нулю. Поэтому при вычислении синус(х) аргумент следует брать от (-пи;пи) отбрасывая необх.период

4.Решение нелинейных систем.Методы простой итерации и Ньютона.

Пусть дана система нелинейных уравнений:

В отлич.от систем линейн.ур-й не сущ-ет прямых методов решения нелин.систем общего вида.Для этого обычно использ.итерационные методы

1)Метод простой итерации – если систему (1) удается представить в виде

алгоритм решения этой системы методом простой итерации напоминает метод Гаусса-Зейделя для линейных систем. Пусть в рез-те предыдущей итерации получены значения неизвестных х1=а1….хn=an. Тогда выражение для неизвестных на след.итерации имеют вид:

критер STOP на k-ой итер-и

При исп.метода прост.итер.успех во многом опред-ся удачным выбором начальн. приближения,в противн.случае итерационный процесс может не сойтись.

2)Метод Ньютона

Пусть (a1,a2,…an) некое приближени неизв-ых (x1,x2…xn) системы (1).Поэтому ставится на кажд итер-ции улучшить решение в виде:

отыскав поправки (Δх1….Δxn). Для этого разложим левые части (1) как ф-ции несколь.перем-ых с учетом (4) в ряд Тейлора в окр.т. а1,а2,..,an, огранич-ясь лишь первыми линейн.членами относит-но приращений

………………………………………………………………………….. (5)

Поскольку левые части ур-й (1)=0 то и правые части (5)=0.

Это есть система лин.ур-й относит.неизв-ых Δx1,Δx2…Δxn.

Для сущ-я единственного решения этой системы необх.чтобы Якобиан не равнялся нулю на каждой итерации

Т.о.итерац.процесс решения системы ур-й (1) методом Ньютона состоит в определении приращений (поправок) Δx1…Δxn к значениям неизвестных на каждой итерации.Процесс прекращается если все приращения становятся малыми по абсолютной величине т.е.

В методе Ньютона так же важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости.