В физике консервативные силы (потенциальные силы) — силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил).

 Отсюда следует следующее определение: консервативные силы — такие силы, работа по любой замкнутой траектории которых равна 0.

Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.

Для консервативных сил выполняются следующие тождества:

 ротор консервативных сил равен 0;

 работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0;

 консервативная сила является градиентом некой скалярной функции U, называемой силовой. Эта функция равна потенциальной энергии взятой с обратным знаком.

Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила Архимеда, сила упругости. Примерами неконсервативных сил являются сила трения и сила сопротивления.

Потенциальная энергия   — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы^[1]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

E_p = mgh,

где E_p — потенциальная энергия тела, m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

Связь между потенциальной энергией и силой

Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. 

Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы   , действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии  U. Значит, между силой     и  U  должна быть связь   , с другой стороны,  dA = –dU, следовательно   , отсюда

.

(5.3.6)

       Проекции вектора силы на оси координат:

       Вектор силы можно записать через проекции:

,  F = –grad U,

(5.3.7)

где   .         Градиент – это вектор, показывающий направление наибыстрейшего изменения функции. Следовательно, вектор     направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U.

Закон сохранения энергии в механике

Тела могут одновременно обладать и кинетической, и потенциальной энергией. Полная механическая энергия тела (системы тел) W — это сумма кинетической и потенциальной энергий: W =W_p + W_k.

Рассмотрим замкнутую систему тел "тело—Земля", между которыми действует только консервативная сила — сила тяжести (см. рис. 1). Под действием этой силы изменяется и кинетическая, и потенциальная энергия тела. Причем ΔW_k = А и -ΔW_p = А, т.е. увеличение кинетической энергии системы равно убыли ее потенциальной энергии.

Рис. 1

Из этих уравнений получаем

Такой же результат получается и при действии силы упругости. Таким образом, полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения или силами упругости, остается постоянной.

Это утверждение и есть закон сохранения энергии в механике.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси.

При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела, так и от положения и направления оси вращения.

Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

Угловое ускорение, которое тело приобретает под действием момента сил, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорциональна моменту инерции телаотносительно некоторой оси.

Кинетическая энергия вращения твердого тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси  , проходящей через него.

Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами  , находящиеся на расстоянии   от оси. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами   опишут окружности различных радиусов   и имеют различные линейные скорости  . Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

                                        (1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

.

Используя выражение (1), получаем:

,

где   – момент инерции тела относительно оси  .

Момент силы относительно точки

Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вращение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом. Момент силы относительно точки численно равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линий действия силы. Перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (рис. 16.), называется плечом силы. Обозначение момента Mo(F) или mo(F)\ Обозначение момента Mo(F) или mo(F)\ т0 (F) = Fa.

Единица измерения [rno(F)] = Нм. Момент считается положительным, если сила разворачивает тело по часовой стрелке Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через точку, т. к. в этом случае расстояние от точки до силы равно нулю

Момент силы относительно оси

Лемма о проекциях позволяет ввести в рассмотрение новую характеристику силы по отношению к оси. Определение. Моментом силы F относительно оси z называется алгебраическая величина, равная проекции на эту ось момента силы относительно произвольной точки указанной оси.

m_z(F)=пр_zm_A(F) (A принадлежит z) (17)

Рассмотрим способ вычисления и свойства момента. Пользуясь произволом выбора центра моментов на оси, выберем в качестве такового т.О- проекцию точки А приложения силы на ось z. Обозначив через к орт оси z, и применив круговую перестановку в смешанном произведении, запишем

m_z(F)=k.(OAxF)=(kxOA).F=hFCosa (18)

Здесь учтено, что ввиду взаимной перпендикулярности векторов k и OA, модуль произведения kxOA равен расстоянию ОА точки приложения сил до оси.

Формула показывает, что:

а) Момент относительно оси дает только составляющая силы, направленная по касательной t к окружности радиуса h.

б) Знак момента определяется знаком Cos. Из Рис.8 вытекает

Рис.8 следующее правило знаков: Момент силы относительно оси положителен, если с конца оси видно, что сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.

Из формулы (12) вытекает, что момент силы относительно оси равен нулю в cлучае, если сила и ось лежат в одной плоскости (a=/2). Это происходит, когда

сила параллельна оси

линия действия силы пересекает ось.

Основое уравнение динамики вращательного движения материальной точки - угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

 М = E*J или E = M/J

Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

Момент импульса

При сравнении законов поступательного и вращательного движений видна аналогия между ними. Во вращательном движении аналогом силы становится ее момент, аналог массы - момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Это момент импульса тела относительно оси.  Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:    где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv - импульс материальной точки (рис. 1); L - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Рис.1

Модуль вектора момента импульса    где α - угол между векторами r и р, l - плечо вектора р относительно точки О.  Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.  При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_iсо скоростью v_i . Скорость v_i и импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора m_iv_i . Значит, мы можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен  (1)  и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.  Монет импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:    Используя формулу v_i = ωr_i, получим    т. е.   2)  Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен моменту инерции тела относительно той же оси, умноженному на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (2) по времени:    т. е.    Эта формула - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.  Можно показать, что имеет место векторное равенство  (3)  В замкнутой системе момент внешних сил   и   откуда   (4)  Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему.         Поэтому  , то есть

         или         

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.         Это один из фундаментальных законов природы.         Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

         отсюда                   или          .

       Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.         Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.         Очень нагляден закон сохранения момента импульса в опытах с уравновешенным гироскопом – быстро вращающимся телом, имеющим три степени свободы (рис. 6.9).

Рис. 6.9		Рис. 6.10

       Используется гироскоп в различных навигационных устройствах кораблей, самолетов, ракет (гирокомпас, гирогоризонт). Один из примеров навигационного гироскопа изображен на рисунке 6.10.         Именно закон сохранения момента импульса используется танцорами на льду для изменения скорости вращения. Или еще известный пример – скамья Жуковского (рис. 6.11).

  Рис. 6.11

       Изученные нами законы сохранения есть следствие симметрии пространства-времени.         Принцип симметрии был всегда путеводной звездой физиков, и она их не подводила.         Но вот в 1956 г. Ву Цзянь, обнаружил асимметрию в слабых взаимодействиях: он исследовал β-распад ядер изотопа СO⁶⁰ в магнитном поле и обнаружил, что число электронов, испускаемых вдоль направления магнитного поля, не равно числу электронов, испускаемых в противоположном направлении.         В этом же году Л. Ледерман и Р. Гарвин (США) обнаружили нарушение симметрии при распаде пионов и мюонов.         Эти факты означают, что законы слабого взаимодействия не обладают зеркальной симметрией.