1. Сообщение, записанное буквами 64-символьного алфавита, содержит 20 символов. Какой объем информации оно несет?

Решение:

Один символ алфавита несет в себе 6 бит информации (2^6=64), Соответственно сообщение из 20 символов несет 6 х 20 = 120 бит. Ответ: 120 бит.

2. Жители планеты Принтер используют алфавит из 256 знаков, а жители планеты Плоттер — из 128 знаков. Для жителей какой планеты сообщение из 10 знаков несет больше информации и на сколько?

Решение:

Один символ алфавита жителей планеты Принтер несет в себе 8 бит информации (2^8=256), а жителей планеты Плоттер — 7 бит информации (2^7=128). Соответственно сообщение из 10 знаков для жителей Принтер несет 10 х 8 = 80 бит, а для жителей Плоттер — 10 х 7 = 70 бит 80 — 70 = 10 бит. Ответ: Больше для жителей Принтер на 10 бит.

3. Для кодирования нотной записи используется 7 значков-нот. Каждая нота кодируется одним и тем же минимально возможным количеством бит. Чему равен информационный объем сообщения, состоящего из 180 нот?

Решение:

Каждая нота кодируется 3 битами (2^2=4<7<2^3=8). Информационный объем сообщения равен 180 х 3 = 540 бит. Ответ: 540 бит.

4. Цветное растровое графическое изображение, палитра которого включает в себя 65 536 цветов, имеет размер 100Х100 точек (пикселей). Какой объем видеопамяти компьютера (в Кбайтах) занимает это изображение в формате BMP?

Решение:

65536 = 2^16, I = 16 бит на кодирование 1 цвета. Все изображение состоит из 10х10=10 000 точек. Следовательно, количество информации, необходимое для хранения изображения целиком 16*10 000=160 000 бит = 20 000 байт = 19,5 Кб. Ответ: 19,5 килобайт.

5. В велокроссе участвуют 119 спортсменов. Специальное устройство регистрирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер с использованием минимально возможного количества бит, одинакового для каждого спортсмена. Каков информационный объем сообщения, записанного устройством, после того как промежуточный финиш прошли 70 велосипедистов?

Решение:

N=119 (2^6=64<7<2^7=128), I ≈7 бит необходимо для кодирования одного спортсмена, поскольку была записана информация о 70 спортсменах, объем сообщения составил: 7 х 70 = 490 бит. Ответ: 490 бит.

Сложная задача

6. Словарный запас некоторого языка составляет 256 слов, каждое из которых состоит точно из 4 букв. Сколько букв в алфавите языка?

Решение:

При алфавитном подходе к измерению количества информации известно, что если мощность алфавита N (количество букв в алфавите), а максимальное количество букв в слове, записанном с помощью этого алфавита – m, то максимально возможное количество слов определяется по формуле L=N^m. Из условия задачи известно количество слов (L=256) и количество букв в каждом слове (m=4). Надо найти N из получившегося уравнения 256=N⁴. Следовательно, N=4. Ответ: 4 буквы.

1. Сколько информации несет сообщение о том, что было угадано число в диапазоне целых чисел от 684 до 811?

Решение:

811-684=128 (включая число 684), N=128, i=7 бит (2^7=128). Ответ: 7 бит информации.

2. В некоторой стране автомобильный номер длиной 7 символов составляется из заглавных букв (всего используется 26 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 20 автомобильных номеров.

Решение:

всего используется 26 букв + 10 цифр = 36 символов для кодирования 36 вариантов необходимо использовать 6 бит, так как 2^5=32<36<2^6=64, т.е. пяти бит не хватит (они позволяют кодировать только 32 варианта), а шести уже достаточно таким образом, на каждый символ нужно 6 бит (минимально возможное количество бит). полный номер содержит 7 символов, каждый по 6 бит, поэтому на номер требуется 6 x 7 = 42 бита. По условию каждый номер кодируется целым числом байт (в каждом байте – 8 бит), поэтому требуется 6 байт на номер (5x8=40<42<6x8=48), пяти байтов не хватает, а шесть – минимально возможное количество на 20 номеров нужно выделить 20x6=120 байт. Ответ: 120 байт.

3. Каждая клетка поля 8×8 кодируется минимально возможным и одинаковым количеством бит. Решение задачи о прохождении 'конем' поля записывается последовательностью кодов посещенных клеток . Каков объем информации после 11 сделанных ходов? (Запись решения начинается с начальной позиции коня).

Решение:

Всего клеток 8х8 = 64. Для кодирования 1 клетки необходимо 6 бит (2^6=64). В записи решения будет описано 12 клеток (11 ходов+начальная позиция). Объем информации записи 12х6 = 72 бита = 72:8 = 9 байт. Ответ: 9 байт.

4. Информационное сообщение объемом 1,5 килобайта содержит 3072 символа. Сколько символов содержит алфавит, с помощью которого было записано это сообщение?

Решение:

1,5 Кбайта = 1,5*1024*8 = 12288 бит. 12288/3072 = 4 бита — информационный вес одного символа. Мощность алфавита равна 2^4=16 символов. Ответ: 16 символов.

5. Мощность алфавита равна 64. Сколько Кбайт памяти потребуется, чтобы сохранить 128 страниц текста, содержащего в среднем 256 символов на каждой странице?

Решение:

Всего требуется сохранить 128 х 256 = 32768 символов. Информационный вес 1 символа 6 бит (2^6=64). Чтобы сохранить весь текст, потребуется 32768 х 6 = 196608 бит = 196608 : 8 =24576 байт = 24576 : 1024 = 24 Кб. Ответ: 24 Кб.

Нестандартные задачи на тему «Системы счисления»

На Новый год на ёлке висело 32 игрушки и 11 конфет. Всего 103 предмета. В какой системе счисления записаны числа?

Решение:

32_р = 3*р+2

11_р = 1*р+1

103_р = 1*р² +0*р+3

32_р + 11_р = 103_р

3*р+2 + 1*р+1 = 1*р² +0*р+3

4р+3 =р² +3

р² – 4р=0

р(р-4)=0

р₁ = 0; р₂ = 4.

Так как основание системы счисления не может быть меньше 2, то ответом является число 4.

Ответ: В данном примере использована 4-ичная система счисления.

Вычислите 10111₂ - 51₁₆ : 33₈, записав результат в двоичной системе счисления.

Решение:

Привычнее всего производить расчеты в десятичной системе счисления, поэтому сначала переведем все числа в десятичную систему и затем произведем соответствующие вычисления.

10111₂ = 23₁₀

51₁₆ = 81₁₀

33₈ = 27₁₀

81₁₀ : 27₁₀ = 3₁₀

23₁₀ – 3₁₀ = 20₁₀

20₁₀ = 10100₂

Ответ: 10100₂

Шифрование. Кодирование

Задание 1. Для шифрования каждой буквы используются двузначные числа. Известно, что буква «е» закодирована числом 20. Среди слов «елка», «полка», «поле», «пока», «кол» есть слова, кодируемые последовательностями цифр 11321220, 20121022. Выясните код слова «колокол».

Решение.

1. Данные последовательности цифр (11321220, 20121022) состоят из восьми символов.

2. По условию задачи каждая буква кодируется двумя символами. Значит, эти последовательности кодируют слова, состоящие из четырех букв.

3. Число 20 кодирует букву «е». В последовательности 11321220 есть число 20 в конце. Из представленного перечня слов подходит только «поле».

4. Отсюда следует, что код «п» - 11, «о» – 32, «л» – 12.

5. В последовательности 20121022 есть число 20 в начале. С буквы «е» начинается только слово «елка».

6. Следовательно, код «л» - 12 (мы это уже знаем), «к» - 10, «а» - 22.

7. Запишем код слова «колокол» - 10|32|12|32|10|32|12.

Ответ. Кодом слова «колокол» является комбинация следующих цифр - 10321232103212.

Задание 2. Для пяти букв алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из двух бит, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:

a	b	c	d	e
000	110	01	001	10

Определите, какой набор букв закодирован двоичной строкой 1100000100110.

Решение.

1. Ни одна последовательность из двух символов не начинается с 11, значит первый код 110. Он соответствует букве «b». Будем отбрасывать известную часть кода, оставляя неизвестную - 0000100110.

2. Ни одна последовательность из двух символов не начинается с 00, значит следующий код 000. Это соответствует букве «a». Остается 0100110.

3. Следующие два символа – 01. Если рассматривать три символа, то 010, однако такая комбинация ничего не кодирует. Следовательно, мы имеем дело с буквой «c». Остаток – 00110.

4. 001 – это «d».

5. 10 – это «e».

6. Запишем буквы по порядку: bacde.

Ответ. Двоичной строкой 1100000100110 закодирован следующий набор букв - bacde.

Информационный объем

Задание 1. Исследователь наблюдает изменение параметра, который может принимать одно из семи значений. Значения записываются при помощи минимального количества бит. Исследователь зафиксировал 120 значений. Определите информационный объем результатов наблюдения.

Решение.

Нам известно максимальное количество значений, которые требуется закодировать с помощью одинаково количества знаков алфавита. Это семь. В качестве алфавита используется бит, который может принимать всего два значения (0 и 1).

Для определения минимального количества бит, необходимых для кодирования одного значения, воспользуемся формулой Хартли: k = log₂N. Здесь k – это количество бит, а N – кодируемое количество значений.

В нашем случае: k = log₂7. Другими словами, в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить семерку? Мы знаем, что 2² = 4, а 2³ = 8. Следовательно, значение k находится между 2 и 3 и является дробью. Но количество бит не может быть дробным числом. Поэтому в данном случае, для кодирования одного значения требуется 3 бита.

Поскольку исследователь зафиксировал 120 значений, то общий информационный объем наблюдения равен (3 * 120 =) 360 битам или (360 / 8 =) 45 байтам.

Ответ. Информационный объем 120 наблюдений, принимаемых семь различных значений, равен 45 байтам.

Задание 2. Если каждый символ кодируется двумя байтами, то каков информационный объем следующего предложения в коде Unicode: