Асимптоты функции. Горизонтальные, вертикальные, наклонные.

Опр. Прямая называется горизонтальной асимптотой функции , если

Опр. Вертикальную прямую называют вертикальной асимптотой функции , если

либо

либо

либо

Горизонтальные и вертикальные асимптоты ищутся. как правило, на границе области определения.

Опр. Прямую называют наклонной асимптотой, если , если , т.е. кривая неограниченно близко приближается к прямой..

Отыскание наклонных асимптот.

если не существует или равен бесконечности, то наклонных асимптот у функции нет.

При коэффициенты находятся аналогично.

Схема построения графика.

1. На плоскости нарисовать оси координат .

2. Находим область допустимых значений функции и рассматриваем поведение функции на границе обрасти. Находим горизонтальные и вертикальные асимптоты.

3. Рассматриваем симметрию графика функции: четность, нечетность, периодичность, если функция четная, то рассматриваем при , после рассмотрения функцию отражаем относительно оси ординат, если нечетная, то рассматриваем при , после рассмотрения функцию отражаем относительно начала координат, если периодическая, то все исследования проводим только на периоде и достраиваем график по периодичности.

4. Находим точки разрыва функции, их характер и промежутки непрерывности функции.

5. Находим нули функции и области постоянства знака функции. Точки пересечения графика с осью ординат.

6. Находим точки экстремума и определяем их характер с помощью правил 1, 2, 3 и промежутки возрастания и убывания функции.

7. Точки перегиба функции и промежутки выпуклости, вогнутости графика.

8. Находим наклонные асимптоты.

9. Отмечаем особенности графика и некоторые контрольные точки, строим график.