2*. Емпірична функція розподілу

Нехай

(1)

є вибірка з генеральної сукупності . За цією вибіркою (1) нам треба побудувати функцію розподілу випадкової величини . Для будь-якого числа позначимо через число значень випадкової величини даної вибірки (1), які задовольняють нерівність .

Нехай – об’єм вибірки. Тоді відносна частота, статистична ймовірність події , яка дорівнює є функцією від і яку позначають через

. (2)

Оскільки функція (2) знаходиться експериментальним шляхом, то вона називається емпіричною функцією розподілу вибірки (1) і для кожного значення визначена статистична ймовірність події .

Таким чином, для того, щоб знайти значення емпіричної функції розподілу (2) при даному значенні , треба підрахувати число дослідів, в яких випадкова величина прийняла значення менші ніж і поділити на загальне число дослідів, тобто на об’єм вибірки . Як відомо, інтегральна функція розподілу генеральної сукупності називається теоретичною функцією розподілу.

Зі збільшенням числа дослідів емпірична функція розподілу наближається (збігається за ймовірністю) до теоретичної функції розподілу , випадкової величини . Тому емпіричну функцію розподілу вибірки (1) доцільно застосовувати для наближеного представлення теоретичної функції розподілу генеральної сукупності . Емпірична функція розподілу має такі ж властивості, як і теоретична функція розподілу :

1) ;

2) – зростаюча функція;

3) якщо випадкова величина приймає тільки значення , то , для і , для , де – найменше значення випадкової величини, а – найменше.

Приклад. З великої кількості тварин (свиней) генеральної сукупності зробили вибірку десяти тварин. При їх відгодуванні на протязі тижня отримали наступні збільшення ваги в :

.

Побудувати емпіричну функцію цієї випадкової величини, збільшення ваги за тиждень, та її графік.

Розв’язання.

Побудуємо спочатку дискретний варіаційний ряд цієї випадкової величини збільшення ваги тварин за тиждень. Об’єм вибірки , – частота.

Найменше значення випадкової величини є , отже , для .

Значення , а саме , спостерігалось рази, отже для .

Значення , а саме , , спостерігалось разів, отже для .

Значення , а саме , , , спостерігалось разів, отже для .

Оскільки найбільше значення випадкової величини, то для . Тоді емпірична функція розподілу та її графік мають вигляд:

3*. Полігон і гістограма статистичного розподілу

Для наглядності будують різні графіки статистичного розподілу і зокрема, полігон і гістограму.

Полігоном частот називають ломану, відрізки якої з’єднують точки , , , . Для побудови полігона частот на осі абсцис відкладають варіанти , а на осі ординат – відповідні їм частоти . Точки з’єднують відрізками прямих і отримують полігон частот.

Полігоном відносних частот називають ломану, відрізки якої з’єднують точки , , , . Для побудови полігона відносних частот на осі абсцис відкладають варіанти , а на осі ординат – відповідні їм частоти . Точки з’єднують відрізками прямих і отримують полігон відносних частот.

У випадку неперервної ознаки доцільно будувати гістограму, для чого інтервал, в якому заключні всі спостерігаємі значення ознаки розбивають на декілька часткових інтервалів довжиною і знаходять для кожного часткового інтервалу – суму частот варіант, що потрапили в -й інтервал.

Гістограмою частот називають ступеневу фігуру, що складена із прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною , а висоти дорівнюють співвідношенню (густина частоти).

Для побудови гістограми частот на осі абсцис відкладають часткові інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцис на відстані .

Площа -го часткового прямокутника дорівнює – сумі частот варіант -го інтервалу, отже, площа гістограми частот дорівнює сумі усіх частот, т.т. об’єму вибірки.

Гістограмою відносних частот називають ступеневу фігуру, що складена із прямокутників, основами яких служать часткові інтервали довжиною , а висоти дорівнюють відношенню .

Для побудови гістограми відносних частот на осі абсцис відкладають часткові інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцис на відстані . Площа -го часткового прямокутника дорівнює – відносній частоті варіант, що потрапили в -й інтервал. Отже, площа гістограми відносних частот дорівнює сумі усіх відносних частот, т.т. одиниці.

8