Линейная алгебра

1. Матрицы и действия с ними.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Квадратной называют матрицу, количество строк в которой равно количеству столбцов. Треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Диагональная матрица — квадратная матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю. Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Нулева́я ма́трица — это матрица, размера mxn, все элементы которой равны нулю.Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен b_ij = λa_ij. Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен c_ij = a_ij + b_ij Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой c_ij = a_ij – b_ij

Умножение матриц. Транспонирование матриц.

Транспонирование матриц

Транспонирование матриц – переход от матрицы  А  к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Свойства транспонированной матрицы:

1. (A^T)^T=A

2. Линейность: (A+B)^T = A^T+B^T

3. Умножение на число: (xA)^T = x*(A^T)

4. (A*B)^T = B^T*A^T

Умножение матриц

.

Свойства умножения

1. АB != BA

2. 0A = A0 = 0

3. ABC = A(BC)

4. (A+B)C = AC + BC

2. Матрица А и называется согласованной с В, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Если матрица А размерностью m на n, матрица B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к. Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;

3. Матрица называется транспонированной,  если ее столбцы переписать в виде строк. Свойства транспонирования: (А^т)^т = А; (А + В)^т = А^т + В^т; (А В С)^т = С^тВ^тА^т; Определитель 2-го и 3-го порядков имеем формулы(правило треугольника ): = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁,    = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₃a₂₂a₃₁.

4. Определители и их свойства.

Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.

Св-ва определителей:

1. В определителе строки и столбцы равнозначны.

2. Если все Эл-ты в строке или столбце = 0, то определитель =0.

3. Общий множитель строки или столбца можно выносить.

4. Если в определителе переставить местами 2 строки, то знак определителя изменится на противоположный.

5. Если в определителе 2 одинаковых строки/столбца, то определитель =0.

6. Если в определителе 2 строки пропорциональны, то определитель =0.

7. Определитель можно разложить на сумму.

8. Если в определителе некоторая строка/столбец является линейной комбинацией другой строки-столбца, то определитель =0.

9. Если к Эл-ам некоторой строки добавить соотв. Эл-ты другой строки умноженные на число не равное 0, то определитель не изменится.

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Минор- определитель полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием К каких-то строк и К столбцов. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число , где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.