7

Модуль 2. Векторы. Комлексные числа. Кривые Лекция 4. Векторы, линейные операции над ними. Скалярное произведение векторов

1. Геометрические векторы

2. Действия над векторами

3. Система координат.

4. Координаты вектора. Преобразования координат вектора при основных операциях.

5. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками.

6. Скалярное произведение векторов.

Установление связи между алгеброй и геометрией было, по существу, революцией в математике. Это позволило воспринимать математику как единую науку и способствовало ее быстрому развитию. Рене Декарт (1637) дал описание метода координат, а развитие его идей привело к развитию ветви математики – аналитической геометрии.

1. Геометрические векторы

Есть величины, которые полностью определяются заданием своих числовых значений. Например, масса, длина, площадь, объем. Это скалярные величины. Но есть величины, для задания которых необходимо знать еще и направление. Например, сила, скорость, ускорение. Это векторные величины.

• Вектором называется направленный отрезок: – начало вектора, – конец вектора. Также вектор будем обозначать _{, , - латинскими буквами со стрелками.}

• Модулем вектора (длиной) называется расстояние между началом и концом. Обозначается .

• Векторы _{и называются противоположными.}

• Вектор, для которого начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором .

• Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

|| ||

Коллинеарные векторы

• Векторы называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Пример 1. Построим векторы, образующие ромб . Укажем равные векторы . Отметим неравные векторы .

• В екторы называются компланарными, если они находятся в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Компланарные векторы , ,

2. Операции над векторами

Операции умножение вектора на число и сложение векторов называются линейными операциями над векторами.

1. Умножение вектора на число . Если , то нужно отложить от начальной точки вектора _{в направлении вектора вектор длины . Если} , то нужно отложить от начальной точки вектора _{в направлении, противоположном вектору , вектор длины .}

П ример 2. Рассмотрим вектор и число . Построим _.

2. Сложение векторов.

Векторы можно складывать по правилам треугольника и параллелограмма.

По правилу треугольника суммой векторов и является вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало приложено к концу .

Правило треугольника

По правилу параллелограмма суммой векторов и , имеющих общее начало, называется вектор , который выходит из общей точки векторов и и является диагональю параллелограмма, построенного на векторах , .

Правило параллелограмма

Если имеется несколько векторов , то сложить их можно следующим образом:

_{Правило многоугольника}

3 . Разностью векторов и называется вектор, равный сумме векторов и , т.е. _.

Множество геометрических векторов на прямой обозначается _, на плоскости - _, в пространстве - .