3. Система координат

Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических фигур (линий, поверхностей) средствами алгебры (с использованием чисел и алгебраических операций) на основе метода координат. Данный метод позволяет каждой точке на плоскости поставить в соответствие упорядоченную пару чисел, а каждой точке пространства – упорядоченную тройку чисел. Основным инструментом метода координат служит система координат.

Далее будем рассматривать только прямоугольную, или декартову, систему координат.

В школьном курсе было дано определение метода координат.

Осью координат называется прямая линия, на которой зафиксирована точка О (называемая началом координат), выбраны положительное направление (указывается стрелкой) и единица длины.

Каждому действительному числу соответствует точка на оси координат, это число называется координатой точки на оси координат, что записывается как . И обратно: каждой точке оси координат соответствует действительное число. Это соответствие взаимно однозначное: .

(ось ординат) (ось аппликат)

(ось абсцисс)

(ось ординат)

(ось абсцисс)

Системы координат

Прямоугольной системой координат на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных осей координат, имеющих общее начало.

Каждой упорядоченной паре чисел соответствует единственная точка на плоскости , и обратно: .

Числа и называются координатами точки в системе координат OXY. Число называется абсциссой точки и является координатой основания перпендикуляра, опущенного из точки на горизонтальную ось (ось абсцисс). Число называется ординатой точки и является координатой основания перпендикуляра, опущенного из точки на вертикальную ось (ось ординат).

Прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность трех взаимно перпендикулярных осей координат, имеющих общее начало.

Оси ОХ, ОУ и ОZ называются осями абсцисс, ординат и аппликат.

Каждой точке пространства соответствует упорядоченная тройка чисел , которые называются координатами точки в системе координат OXYZ. Это соответствие взаимно однозначное:

Итак, положение точки на прямой относительно оси координат определяется заданием одного числа;

положение точки на плоскости относительно введенной системы координат - двух упорядоченных чисел;

положение точки в пространстве – упорядоченной тройкой чисел (абсциссой, ординатой, аппликатой), которые называются прямоугольными (декартовыми) координатами точки.

В дальнейшем под словом «точка» часто будем понимать ее координаты.

Важной задачей является нахождение расстояния между двумя точками:

1) расстояние между точками и на прямой равно модулю разности их координат: