- •Высшего профессионального образования
- •Введение
- •Примерный тематический план изучения темы
- •Требования к знаниям и умениям студентов
- •§ 1. Вычисление расстояний в курсе стереометрии
- •1.1. Различные виды расстояний в пространстве
- •1.2. Вычисление расстояния от точки до прямой
- •1.3. Вычисление расстояния от точки до плоскости
- •1. 4. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Вычисление углов в курсе стереометрии
- •2.1. Угол между лучами
- •2.2. Угол между прямыми
- •2.3. Угол между прямой и плоскостью
- •2.4. Двугранный угол
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Методы решения задач на вычисление углов
- •Аналитические методы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольная работа
- •Список литературы
- •Содержание
- •§1. Вычисление расстояний в курсе стереометрии………………………6
- •§2. Вычисление углов в курсе стереометрии……………………………..27
- •603950, Нижний Новгород, гсп-37, ул. Ульянова, 1
Задачи для самостоятельного решения
19. Основанием пирамиды PABCD является квадрат. Ребро РВ перпендикулярно основанию и равно стороне квадрата. Вычислите угол между а) прямыми PD и АВ; б) прямой PD и плоскостью APC; в) прямой AD и плоскостью PCD; г) плоскостями РАВ и РСD; д) плоскостями PAD и PCD.
20. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1 .
21. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 служит прямоугольник ABCD, в котором АВ=3, AD= Найдите угол между плоскостью AA1D1 и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми А1С1 и ВD равно
22. В правильном треугольнике АВС сторона равна а. На сонаправленных лучах BD и CE, перпендикулярных к плоскости АВС, взяты точки D и Е так, что Найдите угол между а) DA и DE; б) АВС и АDЕ.
23. С началом в точке А проведены четыре луча АВ, АС, АD, АЕ так, что BAC=60°, BAD = DAC=45°, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости АВD. Найдите угол САЕ.
24. Дан куб ABCDA1B1C1D1, точки М и N – середины ребер A1D1 и СС1 соответственно. Найдите угол между плоскостями BMN и АВС.
25. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ребро основания равно 1, а боковое ребро – 3. Найдите угол между прямой ВА1 и плоскостью АВС1.
26. В тетраэдре ABCD грань ABC – правильный треугольник. Грань DВС перпендикулярна плоскости АВС, а две оставшиеся грани составляют с гранью DВС угол φ. Чему равен угол между а) DА и ВС; б) DВ и АС; в) DА и АВС; г) DАВ и DАС; д) DАС и DВС?
27. В сфере проведен диаметр SB. Через точку S проведены хорды SA и SC так, что ASB= CSB=45°, ASC=60°. Найдите угол между а) плоскостями АВС и ASС; б) плоскостями АВС и ASB; в) плоскостями ASB и ВSС; г) прямой AS и плоскостью ВSС; д) прямыми SС и АВ.
28. В основании пирамиды МАВС лежит равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна Боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найдите расстояние и угол между прямыми МР и СQ, где точки Р и Q – середины ребер ВС и АВ соответственно.
29. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным а. Точка К – середина ребра A1D1. Найдите а) расстояние между прямыми ВК и СВ1; б) угол между прямыми BK и CB1; в) угол между прямой ВК и плоскостью АВС.
30. Найдите расстояние и угол между двумя скрещивающимися медианами граней тетраэдра, каждое ребро которого равно 1. (Исследуйте все возможные расположения медиан).
Контрольная работа
Основанием пирамиды FАВС является треугольник АВС, в котором АВС = 900, АВ = 3, ВС = 4. Ребро АF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4.
1. Найдите расстояния:
а) от точки А до плоскости ВСF;
б) от середины отрезка СF до прямой ВC;
б) между прямыми ВF и АС.
2. Вычислите углы:
а) (FВ, АCF);
б) (АCF; ВСF).
Ответы
7. d – (R1 +R2).
8. а) 2; б) 2; в) 2; г) 2; д) /2; е) ; ж) ; з) 2 /5; и) ; к) /2; л) . 9. а) а /12; б) а /2; в) а /6.
10. а) 2 ; б) 3 /2. 11. а) аsinαtgβ/(1 + sin ); б) а sin2α tgβ.
12. и sin .
13. 2,5. 14. . 15. . 16. . 17. а /3.
а) arccos б) arccos в) 45°; г) 45°; д) 120°.
20. 30°. 21. arctg 22. а) 90°; б) arccos 23. 45° или 135°.
24. arccos 25. arcsin
26. а) 90°; б) arctg в) arctg( tg φ);
г) arccos д) arccos
27. а) arccos б) arctg в) 90°; г) 45°; д) 60°.
28. 45°. 29. а) б) arccos в) arcsin
30. arccos arccos