Задачи для самостоятельного решения
7. Найдите расстояние между двумя сферами радиусов R1 и R2, расстояние между центрами которых равно d.
8.
Дана прямая
треугольная призма АВСА1В1С1,
все ребра которой равны двум. Точки Е
и К - середины
соответственно ребер АА1
и В1С1.
Вычислите следующие расстояния: а)
(К;
ВС);
б)
(ВС;
В1С1);
в)
(АВС;
А1В1С1);
г)
(Е;
ВС);
д)
(К;
АВ);
е)
(
ВВ1;
АС);
ж)
(
СС1;
ВЕ);
з)
(
ВЕ; А1С1);
и) (Е; ВСС1); к) (К; А А1В1); л) (В1; ЕС1В).
9. В правильном тетраэдре АВСD с ребром а точки М и N -середины ребер ВD и СD соответственно. Найдите расстояния между прямыми: а) МN и DО, где О – центр грани АВС; б) АD и ВС; в) МN и АВ.
10. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 известны длины рёбер, выходящих из вершины А и величины плоских углов с вершиной А: АВ=2, АD = 1, АА1 = 4, углы ВАD, А1АВ и А1АD равны соответственно 60°, 90° и 120°. Найдите: а) длину диагонали АС1 параллелепипеда; б) длину отрезка ВМ, где М - центр симметрии грани СDD1С1.
11.
Основанием пирамиды МАВС
является треугольник АВС,
в котором АВ
= ВС = а
и угол АВС
равен
.
Боковая грань МВС
перпендикулярна к основанию, а две
другие боковые грани наклонены к нему
под углом
.
Найдите расстояние от вершины: а) М
до плоскости основания; б) С
до плоскости боковой грани АМВ.
12. Основанием наклонной призмы АВСDА1В1С1D1 является ромб АВСD с острым углом А, равным , и стороной а. Известно, что вершина А1 призмы удалена на расстояние а от точек А, В и D. Найдите расстояние между противоположными боковыми гранями.
13. В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна 5, а высота 5 . Найдите расстояние от вершины А до плоскости ВDМ, где М – середина ребра СС1.
14. Найдите высоту треугольной пирамиды, у которой каждое из боковых ребер равно а, один из плоских углов при вершине прямой, а каждый из остальных равен 600.
15. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 , у которого АВ = 2, АА1 = АD = 3, построены точка Р – середина ребра А1В1, точка Q на ребре АD, причем АQ : АD = 2 : 3. Найдите расстояние от D1 до прямой PQ.
16. В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник АВС со стороной, равной а. Две боковые грани АDB и CDB перпендикулярны к плоскости основания, их общее ребро равно а. Чему равно расстояние между АВ и СD?
17. Дана треугольная пирамида DАВС, у которой все боковые ребра равны а, а плоские углы при вершине D – прямые. На каком расстоянии удалена вершина А от плоскости АВС?
§ 2. Вычисление углов в курсе стереометрии
В планиметрии, в основном, встречаются два вида углов: между лучами и между прямыми. В стереометрии появляется новый основной объект – плоскость и новое расположение двух прямых – скрещивающиеся прямые. Возникает необходимость обобщения известных определений из планиметрии на пространство и введения новых видов углов. В пространстве рассматриваются углы между лучами, между прямыми, между прямой и плоскостью, двугранный угол, угол между плоскостями. Существуют также многогранные, в частности трехгранные, углы, но здесь мы их касаться не будем.
Остановимся сначала на основных определениях и описаниях, а затем рассмотрим методы решения задач на вычисление углов.