- •4. Аксиомы теории вероятностей
- •4.1. Простейшие следствия из аксиом
- •4.2. Примеры вероятностных пространств
- •4.2.1. Конечное число неравновозможных исходов
- •4.2.2. Счетное множество неравновозможных исходов
- •4.2.3. Геометрические вероятности
- •4.3. Примеры решения задач
- •5. Некоторые формулы
- •5.1. Независимые события и условные вероятности
- •Примеры решения задач
- •5.2. Примеры решения задач
4. Аксиомы теории вероятностей
Рассмотрим произвольное пространство элементарных исходов . Выделим в нем систему S подмножеств (событий) так, чтобы выполнялись следующие три условия:
1. .
2. Если , то .
3. Если и ,то , .
Система S называется алгеброй событий. Алгебра S называется –алгеброй, когда постулируется, что сумма бесконечного числа событий принадлежит S, если каждое из слагаемых принадлежит S.
Из условий, определяющих алгебру S, следует также, что , А\В S , если A S, B S и , если Ai S, i = 1, 2, …, n.
Действительно, = (условия 1 и 2); А\В = (условия 2 и 3); A1 + A2 S (A1 + A2) + A3 S … (условие 3 применяется n 1 раз).
В случае –алгебры произведение бесконечного числа событий принадлежит S, если каждый из сомножителей принадлежит S. Это следует из условий 2, 3, определения –алгебры и результатов задачи 2.4.8.
Поставим в соответствие каждому событию A S число p(A), называемое вероятностью события А, так, чтобы выполнялись три аксиомы.
1. : p(A) 0.
2. p() = 1.
3. Если события А1, А2, ..., Аk попарно несовместны, т.е.
Ai Aj = Ø, i j, i, j = 1, 2, ..., k, то
p(A1 + A2 + … + Ak) = .
В случае –алгебры аксиома 3 распространяется на бесконечную сумму.
4.1. Простейшие следствия из аксиом
1) p() = p( + ) = p() + p() = 1 p() = 0. Вероятность невозможного события равна нулю.
2. p() = p(A + ) = p(A) + p( ) = 1 p( ) = 1 – p(A) для всякого события A S.
3. Из аксиомы 1 и следствия 2 вытекает, что вероятность любого события A не превосходит единицы,
0 p(A) 1.
4. Если A B , то p(A) p(B).
Действительно, если A B, то событие B можно представить в виде суммы двух несовместных событий: B = A+ (B\А).
Тогда согласно аксиоме 3
p(B) = p(A + В\А) = p(A) + p(B\А) p(A), так как согласно аксиоме 1
p(B\А) .
5. Пусть события A и B совместны. Как и в случае классической схемы, доказывается, что p(A + В) = p(A) + p(B) p(AВ) (теорема сложения вероятностей).
Совокупность пространства элементарных исходов , алгебры S ( –алгебры) и множества вероятностей событий из алгебры S (удовлетворяющих трем аксиомам), называется вероятностным пространством. Классическое вероятностное пространство образуют множество из n равновозможных исходов; множество всех подмножеств (всего событий); множество вероятностей событий, определяемых формулой p(A) = mA /n, где mA – число исходов, входящих в событие А. Классические вероятности удовлетворяют трем перечисленным аксиомам.
4.2. Примеры вероятностных пространств
4.2.1. Конечное число неравновозможных исходов
Множество содержит n неравновозможных элементарных исходов. Вероятности p(ωi) , 1 i n задаются тем или иным образом так, чтобы не нарушать аксиомы 1 3. Таким образом p(ωi) > 0; кроме того,
.
Алгебра событий S содержит все подмножества , всего событий; вероятность любого события A равна (по аксиоме 3) сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих событию А.
.
4.2.2. Счетное множество неравновозможных исходов
Множество счетное, элементарные исходы ωi (i = 1, 2, 3, ...) неравно-
возможны. Вероятности p(ωi) должны удовлетворять аксиомам 1 3. Следовательно, .
–алгебра событий S содержит все подмножества пространства Ω; вероятность любого события A равна сумме (быть может, бесконечной) вероятностей элементарных исходов, входящих в А.
.
Сходимость бесконечного ряда вытекает из сходимости ряда
.