4.2.3. Геометрические вероятности

В качестве пространства элементарных исходов Ω возьмем множество точек прямой, плоскости или пространства, имеющее конечную длину, площадь, объем соответственно. Событиями назовем любые подмножества Ω, также имеющие конечную длину, площадь, объем (возможно, равные нулю).

Вероятность события A определим формулой

Так определенное правило вычисления вероятности события означает, что вероятность некоторого события зависит только от значения его длины (площади, объема) и не зависит от других факторов. Таких, например, как форма события, его положение внутри , связность и т.п. Элементарные исходы  это точки прямой (плоскости, пространства). Так как длина (площадь, объем) точки равны нулю, вероятность каждого элементарного исхода равна нулю. Пользоваться формулой геометрической вероятности при решении некоторой задачи можно, если условие задачи позволяет допустить, что события, имеющие равные длины (площади, объемы), равновероятны.

4.3. Примеры решения задач

4.3.1. Производится опрос, связанный с планами улучшения обслуживания населения зрелищными мероприятиями. Каждому из ста опрашиваемых задаются два вопроса: Регулярно ли вы посещаете кинотеатры? Регулярно ли вы смотрите телевизионные передачи?

Оказалось, что 40 % опрошенных регулярно посещают кинотеатры и смотрят телевизионные передачи; 20 % посещают кинотеатры, но телевизор не смотрят; 30 % не ходят в кино, но смотрят телевизионные передачи; 10 % не ходят в кино и не смотрят телевизор. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный респондент а) регулярно ходит в кино; б) регулярно посещает кино или смотрит телевизор; в) не ходит в кино или не смотрит телевизор?

Решение. Пространство элементарных исходов  состоит из четырех исходов,  = {КТ, T, K, } , где буквами KT, например, обозначен исход, означающий, что наудачу выбранный человек посещает кинотеатры и смотрит телевизор, а сочетание означает, что опрошенный не делает ни того, ни другого.

Из условия задачи находим вероятности элементарных исходов: р{КТ} = 0,4; р{Т} = 0,3; p{К} = 0,2; р{}= 0,1. Конечно, сумма всех вероятностей равна 1. Пусть событие A = {респондент ходит в кино}, B = = {респондент смотрит телевизор}. Событию A благоприятствуют два исхода: A = {КТ, K} . Событию B тоже благоприятствуют два исхода: B = ={КТ, T} . Вероятность события A равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов: p(A) = 0,4 + 0,2 = 0,6. Тогда p() = 1  0,6 = = 0,4. Аналогично p(B) = 0,4 + 0,3 = 0,7; p() = 1  0,7 = 0,3.

Нужно найти вероятность события A + В. Это можно сделать «в лоб» – событие A + B – это множество {КT, T, } , поэтому p(A + В) = 0,4 + + 0,3 + 0,2 = 0,9. Можно воспользоваться формулой p(A+В) = p(A) + p(B) –  p(AВ). Произведение AB содержит один элементарный исход {КТ}, поэтому p(AВ) = 0,4, тогда p(A + В) = 0,6 + 0,7 – 0,4 = 0,9.

Можно перейти к вероятности противоположного события:

p(A + B) = 1 – p() = 1 – p ({}) = 0,9.

Аналогично p( + ) = 1 – p(AB) = 1 – 0,4 = 0,6.

4.3.2. Поезда метро следуют с интервалом в две минуты. Пассажир приходит на станцию в случайные моменты времени. Чемy равна вероятность того, что пассажиру придется ждать поезда не более чем 30 с, если поезд стоит 30 с?

Решение. В данном случае множество  состоит из точек отрезка [0;2] (время выражено в минутах). Предполагается, что можно воспользоваться схемой геометрических вероятностей. Событие A = {время ожидания поезда не превосходит тридцати секунд} состоит из точек отрезка [0; 0,5] и [1,5; 2].

Вероятность события А равна .