Апериодическое звено второго порядка

.

Дифференциальное уравнение

.

Характеристическое уравнение и его корни

Апериодическое звено второго порядка имеет действительные корни характеристического уравнения. Для этого должно выполняться условие

.

Вставить переходную и весовую функцию.

При выполнении этого условия характеристическое уравнение может быть представлено в виде произведения

причем постоянные времени T3 иT4 находятся из уравнений

.

Передаточная функция апериодического звена второго порядка

может быть представлена как произведения передаточных функций двух апериодических звеньев с общим коэффициентом усиления k:

.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика получается, если положить s=j:

.

Частотную передаточную функцию можно представить в виде

W(j)=U()+jV().

Из полученного выражения следует, что

- при =0 и при = W(j)=0,

- при =1/(T₃T₄)^-1/2 действительная часть Re[W(j)]=0 и фазовый сдвиг в системе на этой частоте равен -/2,

- при >1/(T₃T₄)^-1/2 действительная (U()) и мнимая (V()) части передаточной функции отрицательны и, следовательно, фазовый сдвиг в апериодическом звене второго порядка ()</2 (годограф при t  проходит через третий квадрант).

По этим данным можно качественно определить вид амплитудно-фазовой частотной характеристики звена (рис. 3).

Амплитудно-частотная, амплитудная и фазовая частотные характеристики звена - произведение амплитудных частотных характеристик двух апериодических звеньев:

,

.

Сопрягающие частоты, полагая для определенности, что T₃>T₄, ₁=1/T₃, ₂=1/T₄. При =(₁₂)^1/2=1/T₂ то есть на среднегеометрической частоте, ()=-90^o. Максимальный фазовый сдвиг lim_()=-180^o.

Выделение апериодическое звено второго порядка как отдельного типового звена оправдано тем, что в ряде случаев физически - это один элемент САУ (например, два сообщающиеся объема, наполняемых газом под давлением, электрический двигатель постоянного тока и др. ).

5) Критерии качества переходного процесса во времени

В качестве испытательного сигнала для оценки качества переходного процесса обычно используют единичный скачек воздействия. Типовой график переходного процесса представлен на рис. 1.

Переходный процесс характеризуется:

• Длительностью переходного процесса (t _п), то есть временем от начала переходного процесса до момента, начиная с которого выходная величина остается в пределах % от установившегося значения (обычно, %=5%).

• Максимальным отклонением регулируемой величины (x_max) или величиной ) - перерегулированием. Перерегулирование может быть выражено в процентах от установившегося значения )

• 

.

Обычно перерегулирование лежит в пределах 10..30%, в некоторых случаях допускается перерегулирование до 70% [2].

- Временем нарастания выходного сигнала (t_н). В точке x(t)=x(t)/2 строят касательную к x(t)и определяют временя нарастания, как показано на рис.1.

- Колебательностью, то есть числом колебаний, которое может наблюдаться в течение времени переходного процесса (обычно, 1..2 колебания, иногда - и 3..4 колебания). В некоторых с системах колебания на допускаются вообще [2].

Используются и другие критерии оценки переходных процессов (например, время запаздывания).

Те же критерии оценки применимы и для случая x(t)=0.