- •Дифференциальные уравнения Определения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения Определения
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные и записывается
Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например:
- обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;
- уравнение в частных производных 1-го порядка.
Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид . Если это уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать в виде . Для такого уравнения справедлива теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения:
Т е о р е м а. Если в уравнении функция и её частная производная по непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию: при
Условие, что при , называется начальным условием и записывается или .
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция которая зависит от одного произвольного постоянного и удовлетворяет условиям:
- она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного ;
- каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения если в последнем произвольному постоянному придать определённое значение .
Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от , преобразуем его следующим образом
Последнее равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределённые интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя, получим
Дифференциальное уравнение типа
называют уравнением с разделёнными переменными. Общий интеграл его равен
.
Уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделёнными переменными путём деления обеих его частей на выражение :
,
или
Однородные уравнения первого порядка
Прежде чем перейти к рассмотрению вопроса о решении однородных уравнений первого порядка познакомимся с понятием однородных функции.
Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество
.
Так, например, функция однородная функция первого измерения, т.к. ;
функция однородная функция нулевого измерения, т.к. ;
функция не однородная функция, т.к. однородная функция первого измерения, а однородная функция четвёртого измерения.
Определение 2. Уравнение первого порядка называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .
Однородные уравнения первого порядка приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
Уравнение вида будет однородным тогда и только тогда, когда функции и будут однородными функциями одного и того же измерения.
Например, однородное уравнение;
не однородное уравнение.
Замечание: Уравнения вида при приводятся к однородным подстановкой где точка пересечения прямых и Таким образом, для определения и необходимо решить систему уравнений:
Если же , то подстановка позволяет разделить переменные.