Р Дано: , ешение:

Работа по перемещению заряда равна изменению его потенциальной энергии Исходя из формулы 13.7.2, энергия системы трех неподвижных точечных зарядов где потенциалы в точках расположения зарядов соответственно.

Когда заряды расположены на одной прямой, их потенциалы равны

и энергия системы

Когда заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника, их энергия

Таким образом, работа Ее численное значение равно

Ответ:

П ример 13.7.3. Поле создано тремя зарядами: . Заряд расположен на оси АВ, соединяющей заряды и , на расстоянии от каждого из них (рис. 13.7.4). Определить изменение потенциальной энергии системы при переносе заряда в точку, расположенную на расстоянии от заряда на оси ВС, перпендикулярной АВ.

Р Дано: ешение:

С огласно 13.7.2 энергия взаимодей-ствия системы точечных зарядов выра-жается формулой , где потенциал поля, создаваемый всеми зарядами (за исключением i-го), где расположен заряд .

1. Заряд расположен в точке D. Тогда . Потенциал поля в точке, где находится заряд , создается зарядами и и равен: . Так как , то

Потенциал поля в точке, где находится заряд , создается зарядам и и и равен: .

Потенциал поля в точке, где находится заряд , создается зарядами и и равен: . Так как и , то

Таким образом, . Пусть , тогда .

2. Заряд расположен в точке С. Расстояние . Аналогично рассмотренному в пункте 1 с учетом и :

, , .

Следовательно,

Таким образом, изменение потенциальной энергии системы:

О твет:

13.8. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины . Установим связь между этими величинами.

С одной стороны (по формуле 13.6.6), работа по перемещению положительно-

го заряда в электрическом поле равна С другой стороны, эта же работа (по формуле 13.5.2) равна . Поэтому

. (13.8.1)

Выражение 13.8.1 представляет собой так называемую интегральную связь между напряженностью и потенциалом.

Пусть поле однородно, а движение происходит только вдоль оси :

.

Тогда .

Учитывая, что , а , получим , откуда (символ частной производной подчеркивает, что перемещение производится только вдоль оси х). Повторив аналогичные рассуждения для осей Оy и Оz, получим и . Следовательно,

, (13.8.2)

где единичные векторы координатных осей .

Формула 13.8.2 выражает дифференциальную связь между напряженностью и потенциалом. Вектор направлен в сторону убывания потенциала.

Пример 13.8.1. Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Чему равно числовое значение и направление градиента потенциала, если на расстоянии от заряда потенциал поля равен ?