Задачи для самостоятельной работы

1. Пусть X, Y, Z  ObS. AS(X,Y), BS(Y,Z). Доказать утверждение.

Варианты

1. Прообраз разности м. равен разности прообразов.

2. Прообраз объединения м. равен объединению прообразов.

3. Прообраз пересечения м. равен пересечению прообразов.

4. Прообраз дополнения множества равен дополнению прообраза.

5. Монотонность прообраза: UV  A^-1(U)  A^-1(V).

6. Монотонность образа: UV  A(U)  A(V).

7. Образ объединения м. равен объединению образов.

8. UX UA^-1(AU).

9. VY A(A^-1V)V.

10. Образ пересечения м. подмножество в пересечении образов.

11. Прообраз композиции WZ (BA)^-1(W) = A^-1[B^-1(W)].

12. Образ композиции UX BA(U) = B[A(U)].

13. UX; VY; PY; A(U) = V  A(U  A^-1(P)) = VP.

Образец доказательства (логического вывода)

Доказать, что упорядоченная пара O = <(X),> (для некоторого XObS, A  B  A B) является ЧУМ.

Д-во. 1) A (X) =(определение ) AA (определение  в (X)) A  A (определение рефлексивного отношения)  в (X) рефлексивно !

2) A  B & B  C (определение  в (X)) A B & B C =(определение ) A C (определение  в (X)) A  C (определение транзитивного отношения)  в (X) транзитивно !

3) A  B & B  A (определение  в (X)) A B & B A (определение = в (X)) A = B (определение антисимметричного отношения)  в (X) антисимметрично !

1), 2), 3) (определение отношения частичного порядка)  является отношением частичного порядка в (X) (определение ЧУМ) O = <(X),> является ЧУМ 

2. Решите "свой" вариант теста (не забудьте указать вариант, например, ТЕСТ ОТН - 1). Тестовое задание (ТЗ) с номером № студента (mod12) представьте с решением, на остальные ТЗ пришлите только ответы.

Варианты

1. ТЕСТ ОТН - 1.

№	А	В	Дополн-ая информация
1	Множество Х xX х Y	Подмножество, X Y	Понятия
2	М. S(T, R) при T= [a, b]	М. l всех числовых последовательностей	Понятия
3	Отображение (o.) A из X в Y, A:DA  XY	Отображение (о.), AXY	Понятия
4	Ax0	x0(t) = t, t[0,1]	Функции, при t[0,1] (Ax)(t)=[0,1]tsx(s)ds
5	imA	Z - целые числа	Множества Ax=[x]:RR
6	F({xC[0,1] supx(t)1})	(- , F(1)]	Множества Fx=[0,1]x(t)dt
7	{<1,1>, <1,2>} - ОЧП в {1,2}	{<1,1>, <1,2>, <2,2>} - ОЛП в {1,2}	Высказывания
8	A =S C	A(x) =Y B(x) & B(x) =Y C(x) x	Параметрические высказывания, A,B,CS(X,Y)
9	x =(X) y & y =(X) z	xy & yz	Параметрические высказывания, x, y, z  (X)
10	[0,1][3,4]	A([0,1][3,4])	Множества, (X) A(x1,x2) = x1
11	A^-1([0,1])	[0,1][3,4]	Множества, (X) A(x1,x2) = x1
12	[3,4]  [0,1]	A^-1([0,1])	Множества, (X) A(x1,x2) = x2

2. ТЕСТ ОТН - 2.

№	А	В		Дополн-ая информация
1	М. параметрических высказываний, S(P, PR)		М. всех отображений, S( 	Понятия
2	Бинарное отношение (б. о.) в 		Элемент с. всех множеств	Понятия
3	Отношение эквивалентности (о.э.) в ,		О. равенства (о.р.) в R^n =	Понятия
4	О. частичного порядка (ОЧП) в , 		Рефлексивное , транзитивное и антисимметричное б.о.  в X	Понятия
5	Ax0		x0(t) = t, t[-1,1]	Функции, при t[-1,1] (Ax)(t)=[-1,1]tsx(s)ds
6	A([0, 1])		imA	Множества Ax=x^2 + 1:RR
7	S[a, b]		C[a, b]	Множества
8	A =S C		A =S B & B =S C	Параметрические высказывания, A,B,CS(X,Y)
9	A S B & B S C		A(x) Y C(x) xX	Парам-ие высказывания, A,B,CS(X,Y)
10	im A		A([3,4]R)	Множества, (X) A(x1,x2) = x2
11	([0,2] \ (0,2))([0,2] \ (1,2])([0,2] \ [0.5, 2))		[0,2] \ ((0,2)(1,2][0.5, 2))	Множества, (R)
12	({1,2,3}){1, 2, 3, {1,2},{1,3}}		({1,2}) = {1, 2, {1,2}, }	Высказывания

3. ТЕСТ ОТН-3

№	А	В	Дополн-ая информация
1	Пространство R^n	Пересечение м., b	Понятия
2	М. aa  Х	М. всех отображений, S( 	Понятия
3	Антисимметричное о. в 	Б. о. R в   xRy & yRx  x=y	Понятия
4	О. э. в S():A=BA(x)=YB(x) x, где =Y - о.р. в Y	О. р. параметрических высказываний	Понятия
5	ЧУМ  Х, , в котором нет несравнимых элементов	ЧУМ (X) (X)	Понятия
6	imA	область определения D(A)	Множества (Ax)(t)=[0,1]tsx(s)ds, t[0,1]
7	x(1); x(t) = t	Fx; x(t) = t^2	Числа Fx=[0,1]x(t)dt
8	A =S B & B =S C	A(x) =Y C(x) x	Параметрические высказывания, A,B,CS(X,Y)
9	x =(X) y & y =(X) z	xy & yx & yz & zy	Параметрические высказывания, x, y, z  (X)
10	A([0,1][3,4])	im A	Множества, (X) A(x1,x2) = x1
11	[3,4]  [0,1]	A^-1([0,1])	Множества, (X) A(x1,x2) = x2
12	[0,2] \ ((0,2)(1,2][0.5, 2))	([0,2] \ (0,2))([0,2] \ (1,2])([0,2] \ [0.5, 2))	Множества, (R)

4. ТЕСТ ОТН-4

№	А	В	Дополн-ая информация
1	Объединение м., b	М. x1, x2, xnxkk 	Понятия
2	М. всех подмножеств в Х, (Х)	Система всех множеств, ObS	Понятия
3	О. э. в X = (M) : A = B  A B B A	Симметричное о. в 	Понятия
4	Б. о. A в XYxAyxAzy=z, т.е. если Ax = y  Ax = z, то y=z (функциональное б.о. в XY); (<x, y>A  xAy  Ax = y)	Отношение R  ; <x, y>  R  xRy	Понятия
5	Значение о. А на аргументе x, Ax (  A(x) )	Элемент yYy Ax (<x, y>A)	Понятия
6	x(1); x(t) = t	Fx; x(t) = t^2	Числа Fx=[0,1]x(t)dt
7	{<0,1>, <1,1>} - транзитивное отношение в {0,1}	{<0,1>, <1,1>} - рефлексивное отношение в {0,1}	Высказывания
8	S(T,R) - ЛУМ	T содержит более 2-х элементов	Параметрические высказывания, TObS
9	(x) =R (y)	x =PR y & y =PR z	Параметрические высказывания, x, y, z  PR
10	A S B & B S C	A(x) Y B(x) & B(x) Y C(x) x	Параметрические высказывания, A,B,CS(X,Y)
11	A^-1([0,1])	[0,1][3,4]	Множества, (X) A(x1,x2) = x1
12	([0,2] \ (0,2))([0,2] \ (1,2])([0,2] \ [0.5, 2))	[0,2] \ ((0,2)(1,2][0.5, 2))	Множества, (R)

5. ТЕСТ ОТН-5

№	А	В	Дополн-ая информация
1	Б. о. R в   xRy  yRx	Антисимметричное о. в 	Понятия
2	Б. о. R в  xRy & yRz  xRz	О. э. в R^n : x = y  xk = yk k	Понятия
3	Аргумент о. А	Элемент м. Х, x Х	Понятия
4	М. S(  при  и R	Вещественная функция	Понятия
5	О. x S(T, R)	Вещественная ф. PR0Rвысказ-ние р истинно(р)=1, высказ-ние р ложно  (р) = 0	Понятия
6	A^-1(-1, 1)	A(-1, 1)	Множества Ax=[x]:RR
7	imA	область определения D(A)	Множества (Ax)(t)=[0,1]tsx(s)ds,t[0,1]
8	A =S B & B =S C	A(x) =Y B(x) x	Параметрические высказывания, A,B,CS(X,Y)
9	x =PR y & y =PR z	(x) =R (y) & (y) =R (z)	Параметрические высказывания,x, y, z  PR
10	A S C	A(x) Y B(x) & B(x) Y C(x) x	Парам-ие высказывания, A,B,CS(X,Y)
11	[3,4]  [0,1]	A^-1([0,1])	Множества, (X) A(x1,x2) = x2
12	Z  Q  R	Z  Q  R	Высказывания

6. ТЕСТ ОТН-6

№	А	В	Дополн-ая информация
1	М. S( ) при  (м. параметров) и Y=PR	Элемент с. всех множеств	Понятия
2	М. l всех числовых последовательностей	М. S(N, R)	Понятия
3	О. э. в S():A=BA(x)=YB(x) x, где =Y - о.р. в Y	О. р. параметрических высказываний	Понятия
4	Упорядоченная пара x y 	Упорядоченная пара Х, где  - ОЧП в Х	Понятия
5	A({1,5}) Ax = =x(mod5):{1,2,..,20}{1,2,..,5}	A^-1({1,5}) Ax = x(mod5): {1,2,..,20}{1,2,..,5}	Множества
6	[1, 2][1, 4]	[1, 4][1, 2]	Множества
7	A S B	A(x) <Y B(x) xX	Параметрические высказывания, A,BS(X,Y)
8	A =S B & B =S C	A(x) =Y C(x) x	Параметрические высказывания, A,B,CS(X,Y)
9	x =(X) y & y =(X) z	xy & yx & yz & zy	Параметрические высказывания, x, y, z  (X)
10	A([0,1][3,4])	im A	Множества, (X) A(x1,x2) = x1
11	A^-1([0,1])	[0,1][3,4]	Множества, (X) A(x1,x2) = x2
12	[0,2] \ ((0,2)(1,2][0.5, 2))	([0,2] \ (0,2))([0,2] \ (1,2])([0,2] \ [0.5, 2))	Множества, (R)

m_otn.doc Калмыков А.А.  2005.