Тема 20

Означення та умови існування визначеного інтегралу. Властивості. Формула ньютона – Лейбніца

Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання з теми.

Розвивати уважність, вміння самостійно визначати головну думку, логічне мислення.

Студенти повинні знати: означення та умови існування визначеного інтеграла; властивості визначеного інтеграла, формулу Ньютона-Лейбница.

Студенти повинні вміти: обчисляти визначені інтеграли; застосовувати властивості визначеного інтеграла для його обчислення.

Основні питання теми

1.Задачі, що приводять до визначеного інтеграла (про площу криволінійної трапеції, про роботу змінної сили, про пройдений шлях, про масу неоднорідного стержня);

2.Означення та умови існування визначеного інтеграла;

3.Властивості визначеного інтеграла;

4.Формула Ньютона – Лейбніца;

5.Геометричний зміст визначеного інтеграла;

6.Фізичний зміст визначеного інтеграла;

7.Необхідна та достатня умови інтегрованості;

8.Теорема про середнє значення функції;

9.Приклади.

Завдання для самоперевірки

1.Сформулювати теорему про існування визначеного інтеграла.

2.Сформулювати і довести властивості аддитивності і збереження знака визначеного інтеграла.

3. Із фігур, що обмежені лініями:

а)  б)

в)  г)

д)

виберіть ті, які не відповідають поняттю «криволінійна трапеція».

4. Визначеним інтегралом називається …

5.Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що …

6. Виберіть правильні твердження. Величина визначеного інтеграла залежить від: а) виду підінтегральної функції; б) позначення аргументу; в) проміжку інтегрування; г) області визначення первісної функції.

7.Теорема про середнє для визначеного інтеграла формулюється так …

8.Сформулюйте п’ять будь-яких властивостей визначеного інтеграла.

9. Які з формул:

а) б)

в) г) 

д)

відбивають властивості визначеного інтеграла?

10.Обчислити інтеграли

б) в) 

е)

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001, стор.365 – 380.

Лекція „Визначений інтеграл”

І. Поняття визначеного інтеграла. Означення. Сума називається інтегральною сумою, або сумою Рімана.

Означення. Скінченна границя І суми s при називається визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a; b] і позначається

(1)

де а, b — відповідно нижня та верхня межі інтегрування, ò — знак інтеграла, введений Лейбніцем. (Лейбніц увів знак інтеграла ò як витягнуту букву S, що позначає підсумовування.) У разі існування границі І функція f(x) називається інтегровною на проміжку [a; b].

(2)

Це відома формула Ньютона—Лейбніца, яка поєднує диференціальне числення з інтегральним.

В інтегралі символ х позначає змінну інтегрування. Цю змінну можна позначати будь-якою іншою буквою, а отже, завжди маємо:

Зауважимо, що означення визначеного інтеграла можна застосувати лише до обмеженої функції.

Теорема. (Необхідна умова інтегрування.) Інтегровна на проміжку [a; b] функція обмежена.

Властивості визначеного інтеграла

Властивість 1. Визначений інтеграл є міра площі. Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції.

Властивість 2. При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, не змінюючи абсолютної величини.

(3)

Наслідок.

Властивість 3. (Поділ відрізка інтегрування.) Нехай точка c Î [а; b]. Тоді

(4)

Геометрична інтерпретація

Рис. 1

Площа криволінійної трапеції АаbB дорівнює сумі площ криволінійних трапецій АасС і СсbB (рис. 1).

Властивість 4. (Знак визначеного інтеграла.)

1. Якщо f(x) > 0 для х Î (а; b), a < b, то

2. Якщо f(x) < 0 для х Î (а, b), a < b, то