Лабораторная работа № 4

Тема работы: Составление матриц полного факторного плана (ПФП) и расчет коэффициентов регрессии математической модели.

Цель работы. изучить методику составления матриц полного факторного плана эксперимента и получить практические навыки расчета коэффициентов регрессии математической модели.

Общие сведения

Статистические методы планирования активного эксперимента, являются одним из эмпирических способов получения математического описания статики сложных объектов исследования, в виде уравнения связи отклика объекта y и независимых управляемых нормированных входных переменных (факторов) x. При этом математическое описание представляется как некоторый полином – отрезок ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость в окрестности основной точки.

Вследствие наличия неуправляемых и даже неконтролируемых факторов изменение величины y носит случайный характер, поэтому получаемая функциональная зависимость не дает точной связи между управляемыми факторами и откликом y_g объекта в каждом g–м опыте, а лишь между управляемыми факторами и математическим ожиданием случайной величины у.

В таком случае по результатам эксперимента можно отыскать уравнение регрессии в форме некоторого полинома. Задача, поиска оценок коэффициентов уравнения регрессии по результатам опытов в N точках факторного пространства, является типичной задачей множественного регрессионного анализа в том случае, если выполняются следующие предпосылки:

1. Результаты наблюдений y₁, y₂, …, y_N отклика в N точках факторного пространства представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины.

2. Получаемые при проведении многократных повторных наблюдений выборочные оценки воспроизводятся с равной точностью.

3. Независимые управляемые факторы х₁, х₂, …, х_N измеряются с пренебрежимо малыми ошибками по сравнению с ошибкой в определении величины y.

эта задача решается на основании метода наименьших квадратов (лабораторная работа №3), т.е. из условия минимальной суммы квадратов отклонений, значений отклика ỳ_j предсказанного и наблюдаемого значения y_j, которые получаются при опытах в этих точках: (1)

Поскольку задача состоит в отыскании значений коэффициентов уравнения регрессии, минимизирующих выражение (1), она решается с помощью системы так называемых нормальных уравнений, полученных приравниванием нулю частных производных от квадратичной формы (1).

Чтобы получить независимые друг от друга оценки коэффициентов уравнения регрессии, матрица планирования эксперимента должна обладать следующими свойствами:

1) Симметричность относительно центра плана - алгебраическая сумма элементов столбца любого фактора равна нулю X_ij = 0, (2)

где X_{ij –} значения i–го фактора в j–м опыте, i=1, 2, …k; j= 1, 2, …N; N- число опытов.

2) Нормированность - сумма квадратов элементов столбца любого фактора равна числу опытов = N, i=1, 2, …k. (3)

3) Ортогональность - сумма произведения любых двух столбцов матрицы равна нулю

X_ij*X_uj = 0, u ≠ i; i,и=1, 2, …k. (4)

Перечисленные свойства матрицы значительно облегчают расчет коэффициентов регрессии линейной математической модели, записанной для нормализованных факторов.

Полным факторным экспериментом (ПФП) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней k независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируют на двух уровнях.

Число этих комбинаций (количество опытов) определяется по формуле: N = 2^k, (5)

где k − число факторов, N – число строк матрицы (количество опытов).

Условия проведения эксперимента записывают в виде таблиц, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов.

Интервал варьирования по каждому управляемому фактору выбирают так, чтобы приращение величины отклика y к базовому значению y_o при реализации x_oj ± ∆x_j можно было выделить на фоне «шума» при небольшом числе параллельных опытов. При планировании эксперимента проводят преобразование размерных управляемых независимых факторов в безразмерные, нормированные по следующей формуле: (6)

это дает возможность легко построить матрицу планирования и значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние и нижние уровни варьирования в относительных единицах равны соответственно +1 и −1 независимо от физической природы факторов, значений основных уровней и интервалов варьирования факторов ∆x_j.

ПФП применяют для построения линейных и неполных степенных математических моделей.

Запишем уравнение регрессии полного плана для трех факторов с учетом взаимодействий:

у = В₀ + B₁X₁ + В₂Х₂ + В₃Х₃ + B₁₂X₁Х₂ + B₁₃X₁Х₃ + B₂₃X₂Х₃ +B₁₂₃X₁Х₂Х₃. (7)

Матрицу ПФП составляют по следующим правилам:

1. Каждая строка матрицы содержит набор +1 и −1, отличающийся от набора значений любой другой строки матрицы.

2. Вводят фиктивную переменную x_o = +1.

3. Поскольку значения факторов принимают лишь значения +1 и −1, все значения взаимодействий могут принимать только такие же значения.

4. В первой строке (№ опыта = 1) все управляемые факторы выбирают на нижнем уровне, т.е. x_j = −1 (j = 1, 2, 3). Частота смены знака значений факторов в столбцах матрицы для каждого последующего фактора вдвое меньше, чем для предыдущего (табл. 1). Три столбца управляемых факторов образуют собственно план эксперимента, а остальные столбцы получаются перемножением соответствующих значений управляющих факторов и необходимы только для расчета коэффициентов регрессии математической модели.

ПФП типа 2⁴ (k = 4) можно построить либо указанным выше способом, либо на базе ПФП типа 2³, повторив его дважды: один раз при величине x₄ = −1, второй раз – при x₄ = +1. Аналогично могут быть получены планы для сколь угодно большого числа k независимых управляемых факторов.

Нормализованная матрица планирования трехфакторного эксперимента с учетом взаимодействий представлена в табл. 1.

Таблица 1

Нормализованная матрица планирования трехфакторного эксперимента с учетом взаимодействий.

№ оп.	x0	Значения факторов			Значения взаимодействий				Знач. вых. величины
		x1	x2	x3	x1∙x2	x1∙x3	x2∙x3	x1∙x2∙x3
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	Y1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	Y2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	Y3
4	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	Y4
5	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	Y5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	Y6
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	Y7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	Y8

Формула для нахождения линейных коэффициентов регрессии имеет вид:

Bi = ( X_i1∙Y₁ + X_i2∙Y₂ + ... + X_iN∙Y_N) / N. (8)

Тогда из табл. 1 имеем:

В₀ = [ Y₁ + Y₂ + Y₃ + Y₄ + Y₅ + Y₆ + Y₇ + Y₈]/8

B₁ = [ (-1)∙Y₁ + (+1)∙Y₂ +(-l)∙Y₃ +(+l)∙Y₄ +(-1)∙Y₅ + (+1)∙Y₆ +(-l)∙Y₇ + (+l)∙Y₈] / 8,

B₂ = [ (-l)∙Y₁ + (-1)∙Y₂ +(+l)∙Y₃ +(+l)∙Y₄ +(-l)∙Y₅ + (-1)∙Y₆ +(+l)∙Y₇ + (+l)∙Y₈] / 8,

B₃ = [ (-l)∙Y₁ + (-1)∙Y₂ +(-l)∙Y₃ +(-l)∙Y₄ +(+l)∙Y₅ + (+1)∙Y₆ +(+l)∙Y₇ +(+l)∙Y₈] / 8,

B₁₂ = [ (+l)∙Y₁ + (-1)∙Y₂ +(-l)∙Y₃ +(+l)∙Y₄ +(+l)∙Y₅ + (-1)∙Y₆ +(-l)∙Y₇ +(+l)∙Y₈] / 8,

B₁₃ = [ (+l)∙Y₁ + (-1)∙Y₂ +(+l)∙Y₃ +(-l)∙Y₄ +(-l)∙Y₅ + (+1)∙Y₆ +(-l)∙Y₇ +(+l)∙Y₈] / 8,

B₂₃ = [ (+l)∙Y₁ + (+1)∙Y₂ +(-l)∙Y₃ +(-l)∙Y₄ +(-l)∙Y₅ + (-1)∙Y₆ +(+l)∙Y₇ +(+l)∙Y₈] / 8,

B₁₂₃ = [ (-l)∙Y₁ + (+1)∙Y₂ +(+l)∙Y₃ +(-l)∙Y₄ +(+l)∙Y₅ + (-1)∙Y₆ +(-l)∙Y₇ + (+l)∙Y₈] / 8. (9)

Условимся, что в неравенстве величина называется нижним уровнем варьируемого фактора, – его верхним уровнем. Середину диапазона варьируемого фактора назовем его основным уровнем и обозначим , т.е. , (12)

а разность (13)

назовем интервалом варьирования фактора Х_i.

Связь между произвольным фактором Zi и его нормализованным обозначением Х_i может быть вычислена по следующей формуле: (14)

Рассмотрим пример перехода от нормализованного обозначения факторов к натуральному. Допустим, варьируется только один фактор v (скорость движения) на двух уровнях:

V_1-min = 15,8 М/с и V_1-max = 17,55 м/с. (15)

Середина диапазона варьирования = (15,8 + 17,55 )/ 2 = 16,62 м/с. (16)

Интервал варьирования ∆₁ =17,55 - 16,62 = 0,9 м/с. (17)

Тогда . (18)

Теперь вместо подставляем его выражение в натуральном обозначении .

пример данных проведенного эксперимента представлен в таб. 2.(смотрите лабораторную работу №3, где m- количество людей в автомобиле, P- усилие нажатия на педаль тормоза, φ- коэффициент сцепления шины с дорогой)

Таблица 2