1 Методические указания

1.1 Понятия неопределённого интеграла. Свойства

В курсе дифференциального исчисления решалась задача: по данной функции найти её производную (или дифференциал ). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная её производную (или дифференциал ). Искомая функция называется первообразной функции .

Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого

Множество всех первообразных функций для функции называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом ,таким образом

.

Операция нахождения неопределённого интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

1.2 Непосредственное интегрирование

При вычислении интегралов следует пользоваться таблицей интегралов

1. +C, . 11

2. 12

3. 13

4. 14

5. 15

6. 16

7. 

8. 

9. 

10. 

и свойствами.

1. Если под интегралом стоит алгебраическая сумма, то интеграл суммы равен сумме интегралов:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и вносить под знак интеграла:

где А – постоянная величина. (Переменную величину выносить за знак интеграла нельзя).

3

4

Пример 1 Вычислить интеграл

Решение. Применяем формулу I, полагая в ней u=x, n=4;

получаем:

Пример 2 Вычислить интеграл .

Решение.

Пример 3 Вычислить интеграл

Решение. Возводим двучлен в квадрат и затем интегрируем:

1.3 Метод подстановки

Если под знаком интеграла стоит выражение ,

т. е. даётся произведение элементарной функции от некоторой функции на дифференциал последней, например, ,

то интеграл вычисляют методом подстановки, используя свойство инвариантности если , где непрерывная дифференцируемая функция аргумента .

Пример 4 Вычислить интеграл

Решение. Полагаем , отсюда

Выполнив подстановку, получаем:

Пример 5 Вычислить интеграл

Решение. Вводим подстановку отсюда Пользуемся подстановкой и получаем:

Если подинтегральное выражение можно представить в виде произведения степени (с показателем n, не равным минус единице) на дифференциал основания, то интеграл следует вычислять по формуле:

Пример 6

Если подинтегральное выражение можно представить в виде дроби, в числителе которой стоит дифференциал знаменателя, т.е. дроби вида , то интеграл следует вычислять по формуле:

Пример 7

Если подинтегральное выражение можно представить в виде дроби со знаменателем и числителем (в числителе должен стоять дифференциал основания квадрата второго члена знаменателя), то интеграл следует вычислять по формуле:

Пример 8

Если подинтегральное выражение можно представить в виде дроби со знаменателем и числителем , то интеграл следует вычислять по формуле:

(В числителе дроби должен стоять дифференциал основания квадрата второго члена.)

Пример 9

Если подинтегральное выражение может быть представлено в виде дроби со знаменателем и числителем , то интеграл следует вычислять по формуле:

Пример 10

Если подинтегральное выражение может быть представлено в виде дроби с знаменателем и числителем , то интеграл следует вычислять по формуле:

Пример 11 = (в числителе стоит дифференциал основания квадрата второго члена)=