Задача 7.

По данным страховой статистики (таблица 1) определить:

• вероятность страхового случая;

• опустошительность (коэффициент кумуляции) одного страхового случая;

• показатель убыточности страховой суммы.

Таблица 1 Исходные данные

Наименование	Вариант
	А	Б
1	2	3
1. Число застрахованных объектов, ед.	415	697
2. Средняя страховая сумма. д.е.	820	2150
3. Число страховых случаев. ед.	23	71
4. Число пострадавших объектов, ед.	103	128
5. Средняя сумма страхового возмещения, д.е.	498	910

Задача 8.

На основании данных о показателях убыточности по однородным объектам страхования (таблица 2) определить:

• основную часть нетто-ставки;

• величину рисковой надбавки;

• нетто-ставку.

Таблица 2 Исходные данные

Наименование	Вариант
	А	Б
1	2	3
Убыточность страховой суммы, (руб. со 100 руб. страховой суммы): 1^й год	0,16	0,12
Продолжение таблицы 2
1	2	3
2^й год	0,18	0,19
3^й год	0,19	0,26
4^й год	0,16	0,14
5^й год	0,17	0,15

Задача 9.

Вероятность страхового случая по договору страхования - q, при наступлении страхового случая выплачивается страховая сумма - v, количество договоров - n.

Аналитически вывести формулы:

• среднего квадратического отклонения показателя вероятности страхового случая;

• коэффициента Ф.В.Коньшина.

Задача 10.

Страховщик имеет возможность заключить "n" договоров страхования: 1; 2; 10; 100; 1000; 2000; 5000; 10000; 20000.

Вероятность страхового случая , страховая сумма по договору v=1000 д.е.

Определить для каждого количества заключенных договоров страхования (n=1,2…20000):

• размер совокупной нетто-премии;

• размер среднего квадратического отклонения совокупной нетто-премии;

• коэффициент Ф.В.Коньшина.

Какой показатель позволяет страховщику оценить финансовую устойчивость страховых операций?

Какие факторы оказывают влияние на финансовую устойчивость страховых операций?

В чем проявляется "закон больших чисел" в страховании?

Задача 11.

По данным САО, в результате страхового случая вероятность гибели объекта - 50 %, вероятность повреждения объекта - 50 %.

Рассчитать вероятности в десяти страховых случаях (n=10) получить следующие результаты:

• погибли 10 объектов;

• 5 Объектов погибло, 5 - повреждено;

• или 5 объектов погибло, 5 - повреждено; или 4 погибло, 6 - повреждено; или 6 - погибло, 4 - повреждено.

Построить схему частот (треугольник Паскаля) для n=10. Для расчета вероятностей результатов использовать формулу Бернулли.

Задача 12.

Страховщик желает принять на страхование 20 объектов, страховая сумма по договору страхования каждого объекта - 10000 д.е., вероятность гибели объекта - 2 %. Каким резервным капиталом должен обладать страховщик, чтобы принять на страхование данные объекты? Распределение вероятностей убытков принять биномиальным.

Задача 13.

По данным САО, 20 % страхователей старше 50 лет расторгают договоры смешанного страхования жизни. В случайном порядке выбраны 5 человек старше 50 лет, имеющие указанные договоры.

Выполнить следующее:

• составить ряд распределения числа страхователей в выборке, которые предпочли расторгнуть договор;

• построить полигон распределения дискретной случайной величины;

• найти численные характеристики данного распределения;

• найти функцию распределения числа страхователей в выборке и построить ее график;

• найти вероятность того, что среди 5 случайно выбранных страхователей старше 50 лет:

а) не будет ни одного, который предпочел бы расторгнуть договор;

б) будет хотя бы один;

в) будет не больше двух.

Задача 14.

Страховой портфель сформирован из 200 договоров страхования с вероятностью страхового случая в каждом договоре - 0,01.

Построить графически вероятные распределения общего числа страховых выплат по страховому портфелю с использованием моделей:

а) биномиального распределения;

б) распределение Пуассона.

Задача 15.

Вероятность гибели объекта по договору страхования - 0,002. Какова вероятность того, что в 1000 страховых договорах произойдет 5 случаев гибели объектов?

Задача 16.

Вероятность гибели объекта по договору страхования - 0,001. Какова вероятность того, что в 2000 страховых договорах гибель объекта произойдет соответственно не менее, чем в двух и не более, чем в четырех договорах страхования?

Задача 17.

Страховщик использует модель нормального распределения для анализа вероятных выплат по страховому портфелю. Среднее значение страховой выплаты - 980 д.е., стандартное отклонение - 120 д.е.

1. Найти вероятность того, что размер страховой выплаты составит:

а) более 1250 д.е.;

б) меньше 850 д.е.;

в) больше 700 д.е. и меньше 1200 д.е.;

г) отклонится от среднего значения страховой выплаты меньше, чем на 50 д.е.;

д) отклонится от среднего значения больше, чем на 50 д.е.

2. Найти интервал, в котором отклонение страховой выплаты от среднего значения не превысит трехкратного стандартного отклонения (трех сигм).

Построить кривую нормального распределения, графически указать данный интервал (Приложение Б).

3. С вероятностью 0,899 определить интервал, в котором будет находиться размер страховой выплаты. Какова при этом условии максимальная величина отклонения страховой выплаты от среднего значения?

Задача 18.

Определить ожидаемый размер средней страховой выплаты по страховому портфелю, если предполагается, что размеры страховых выплат являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону с дисперсией - 22500. Известно, что 28 % страховых выплат по портфелю имеют размер более 1000 д.е.

Задача 19.

Страховщик полагает, что размеры выплат по страховому портфелю являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону. Известно, что 14 % выплат имеют размеры менее 800 д.е. и 36,5 % - более 1100 д.е. Определить ожидаемый размер страховой выплаты и стандартное отклонение страховой выплаты.

Задача 20.

Страховщик планирует заключить 10000 договоров страхования автотранспортных средств. Прошлые статистические данные позволяют предположить, что вероятность страхового случая по договору составляет - 1 %. Какова вероятность того, что в планируемом количестве договоров произойдет от 95 до 120 страховых случаев?

Задача 21.

Размер страховой выплаты по портфелю договоров имущественного страхования подчиняется нормальному закону распределения: ожидаемая средняя выплата - 375 д.е., стандартное отклонение - 25 д.е.

Найти вероятность того, что размер страховой выплаты составит:

а) от 300 до 425 д.е.;

б) не более 450 д.е.;

в) больше 300 д.е.

Задача 22.

Страховщик прогнозирует возможную величину выплат по страховому портфелю и полагает, что размер выплаты подчиняется нормальному закону распределения: ожидаемая средняя выплата - 23 д.е., стандартное отклонение - 0,51 д.е. Найти интервал, в котором с вероятностью 99,73 % будут заключены размеры страховых выплат.

Задача 23.

Страховщик полагает, что размер страховой выплаты по страховому портфелю представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием - 20 д.е. и дисперсией - 0,04. Найти вероятность того, что размер страховой выплаты по портфелю будет находится в интервале между 19,7 и 20,3 д.е. Какой размер страховой выплаты можно гарантировать с вероятностью 95 %?