- •Решение систем линейных уравнений 56
- •Программа курса "Численные методы".
- •Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешность функции. Обратная задача теории погрешностей.
- •Тема 2. Приближение функций. Постановка задачи приближения функций. Классы аппроксимирующих функций. Критерии согласия. Погрешность аппроксимации.
- •Вопросы по курсу "Численные методы".
- •Введение.
- •Методические указания и типовые задачи. Приближенные вычисления.
- •Типовые задачи.
- •A2. Обратная задача теории погрешностей.
- •Интерполирование. Постановка задачи интерполирования. Полином Лагранжа, Стирлинга, Бесселя, Ньютона. Обратное интерполирование.
- •Интерполяционный полином Бесселя и Стирлинга.
- •Интерполяционные полиномы Ньютона.
- •Обратное интерполирование
- •Типовые задачи
- •Б1. Интерполирование с помощью полинома Лагранжа
- •Б2. Интерполирование с помощью формул Ньютона, Стирлинга, Бесселя.
- •Б3. Обратное интерполирование (случай неравноотстоящих узлов)
- •Б4. Обратное интерполирование (случай равноотстоящих узлов)
- •Численное дифференцирование. Формулы численного дифференцирования. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании. Выбор оптимального шага численного дифференцирования
- •Выбор оптимального шага численного дифференцирования
- •Задача b
- •Численное интегрирование
- •Построение простейших квадратурных формул
- •Если округлить результат до двух знаков, то
- •Вычислительная погрешность формулы Симпсона равна
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Одномерная оптимизация. Отделение корней. Метод хорд. Метод касательных. Метод итераций.
- •Метод Ньютона-Рафсона.
- •Решение систем линейных уравнений.
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задача b
Пользуясь таблицей задачи Б2, вычислить первую производную заданной функции в точке x* и оценить погрешность результата. Определить оптимальный шаг таблицы для выбранной формулы численного дифференцирования.
1. x*=1,1 2. X*=1,2 3. X*=1,3 4. X*=2,0
5. x*=2,2 6. X*=0,50 7. X*=0,52 8. X*=0,56
9. x*=0,60 10. X*=0,61 11. X*=1080 12. X*=1090
13. x*=1100 14. X*=1110 15. X*=1120 16. X*=2,70
17. x*=2,74 18. X*=2,76 19. X*=2,80 20. X*=2,84
21. x*=0,7 22. X*=0,9 23. X*=1,1 24. X*=1,3
25. x*=1,5.
Численное интегрирование
Постановка задачи. Пусть требуется вычислить интеграл
|
(1) |
Если функция f(x) является непрерывной на отрезке [a;b], то интеграл (1) существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница
|
(2) |
Однако для большинства функций f(x) первообразную F(x) не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f(x) часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в построении формул численного интегрирования, или квадратурных формул.
Определение 1. Приближенное равенство
|
(3) |
называется квадратурной формулой, определяемой узлами и коэффициентами Ai.
Величина
|
(4) |
называется остаточным членом квадратурной формулы.
В зависимости от способа задания подынтегральной функции f(x) будем рассматривать два различных в смысле реализации случая численного интегрирования.
Задача 1. На отрезке [a;b] в узлах xi заданы значения fi некоторой f, принадлежащей определенному классу F. Требуется приближенно вычислить интеграл (1) и оценить погрешность полученного значения.
Так обычно ставится задача численного интегрирования в том случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.
Задача 2. На отрезке [a;b] функция f(x) задана в виде аналитического выражения. Требуется вычислить интеграл (1) с заданной предельно допустимой погрешностью .
Рассмотрим алгоритмы решения задач 1 и 2.
Алгоритм решения задачи 1.
Выбирают конкретную квадратурную формулу (3) и вычисляют JN. Если значения функции f(xi) заданы приближенно, то фактически вычисляют лишь приближенное значение для точного JN.
Приближенно принимают, что .
Пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода
.
Определяют погрешность вычисления
,
по погрешностям приближенных значений f(xi).
Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения :
Получают решение задачи в виде
.
Алгоритм решения задачи 2.
1. Представляют в виде суммы трех неотрицательных слагаемых
,
где - предельно допустимая погрешность метода; - пре-дельно допустимая погрешность вычисления ; - предельно допустимая погрешность округления результата.
2. Выбирают N в квадратурной формуле так, чтобы выполнялось неравенство
.
3. Вычисляют f(xi) с такой точностью, чтобы при подсчете JN по формуле (3) обеспечить выполнения неравенства
.
Для этого, очевидно, достаточно вычислить все f(xi) с абсолютной погрешностью
.
4. Найденную в п.3 величину округляют (если ) с предельно допустимой погрешностью до величины .
5. Получают решение задачи в виде
.