- •Предисловие
- •1 Математические модели. Численные методы. Погрешности вычислений
- •1.1 Математические модели и моделирование
- •1.2 Этапы численного решения задач на эвм
- •1.3 Виды погрешностей решения задач
- •1.4 Погрешности арифметических операций
- •1.5 Графы арифметических операций
- •1.6 Распространение погрешностей в вычислениях
- •2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1 Постановка задачи. Методы решения
- •2.2 Метод Гаусса
- •2.2.1 Описание метода Гаусса
- •2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса
- •2.2.3 Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.4 Обращение матрицы
- •2.5 Метод Гаусса–Зейделя
- •2.5.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя
- •2.5.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя
- •2.5.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя
- •3 Аппроксимация функций
- •3.1 Понятие аппроксимации функций
- •3.2 Постановка задачи интерполирования функций
- •3.3 Интерполяционный полином Лагранжа
- •3.4 Конечные и разделенные разности функции
- •3.5 Интерполяционный полином Ньютона
- •3.6 Погрешность интерполирования
- •3.7 Наилучший выбор узлов интерполирования
- •4 Численное интегрирование
- •4.1 Постановка задачи численного интегрирования
- •4.2 Метод прямоугольников
- •4.3 Погрешность метода прямоугольников
- •4.4 Метод трапеций
- •4.5 Погрешность метода трапеций
- •4.6 Метод Симпсона
- •4.7 Погрешность метода Симпсона
- •4.8 Интерполяционные квадратурные формулы
- •4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.9.1 Квадратурная формула Гаусса–Лежандра
- •4.9.2 Квадратурная формула Гаусса–Лагерра
- •4.9.3 Квадратурная формула Гаусса–Эрмита
- •5 Решение нелинейных уравнений
- •5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений
- •5.2 Метод деления отрезка пополам
- •5.3 Метод простой итерации
- •5.4 Метод Ньютона
- •5.5 Метод секущих
- •6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1 Постановка задачи
- •6.2 Метод рядов Тейлора
- •6.3 Метод Эйлера
- •6.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка
- •6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка
- •7 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1 Постановка задачи
- •7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7.3 Метод Эйлера
- •8.2 Выполнение символьных операций Matlab
- •8.3 Создание символьных переменных
- •8.4 Создание группы символьных переменных
- •8.5 Создание списка символьных переменных
- •8.6 Вывод символьного выражения
- •8.7 Упрощение выражений
- •8.8 Вычисление производных
- •8.9 Вычисление интегралов
- •8.10 Вычисление сумм рядов
- •8.11 Вычисление пределов
- •8.12 Разложение функции в ряд Тейлора
- •8.13 Вычисление определителя матрицы, обращение матрицы
- •9 Дополнение
- •9.1 Вычисление значений полиномов
- •9.2 Вычисление корней полиномов
- •9.3 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- •9.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки)
- •9.5 Интерполирование функций сплайнами
- •Литература
- •Оглавление
2.5 Метод Гаусса–Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя – это итерационный метод решения задачи, или метод последовательных приближений.
2.5.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя
Получим расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя. Пусть решается система уравнений (2.1). Выразим из 1-го уравнения , из 2-го уравнения и т.д. В результате получим
,
,
…………………………………………….
,
или вообще для любого
. (2.12)
Предположим, что на некоторой -й итерации мы получили решение . Используем известные к моменту расчета значения других переменных в правой части уравнения (2.12) для расчета значения в левой части. В результате мы получим следующую рекуррентную формулу, которая и составляет метод Гаусса–Зейделя:
.
Расчеты по последней формуле продолжаются при до тех пор, пока не будет выполняться условие
,
или условие
,
где , причем – допустимая абсолютная погрешность нахождения
решения СЛАУ, а – допустимая относительная погрешность.
2.5.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя
Итерационные методы могут сходиться к решению или не сходиться. То же самое относится и к методу Гаусса–Зейделя. Исследуем сходимость метода на примере системы из двух уравнений
Запишем данную систему в виде
(2.13)
Итерации метода Гаусса–Зейделя здесь осуществляются по формулам
(2.14)
Обозначим
Вычитая из выражений (2.13) выражения (2.14), получим
Подставляя первое из этих выражений во второе, получим
.
Аналогично можно найти
,
так что
.
Продолжая этот процесс дальше, будем иметь
.
Точно также можно получить
.
Поэтому если
, (2.15)
то , , и метод Гаусса-Зейделя сходится к решению . Соотношение (2.15) – это достаточное условие сходимости метода Гаусса-Зейделя для системы из двух уравнений.
Содержательный смысл приведенного условия сходимости можно выяснить, проанализировав его. Соотношению (2.15) можно удовлетворить, если
или если
Последние два условия можно назвать условиями преобладания диагональных
элементов системы уравнений: для сходимости метода Гаусса–Зейделя диагональные элементы системы уравнений по абсолютной величине должны превышать недиагональные.
Полученные достаточные условия сходимости для системы двух уравнений можно распространить на систему уравнений. Без доказательства скажем, что метод Гаусса–Зейделя сходится для системы уравнений, если выполняются условия
для всех кроме одного, для которого выполняется более жесткое условие
.
Сформулированные условия также являются достаточными, но не необходимыми. Возможны случаи невыполнения данных условий при сходимости метода. Эти условия также можно назвать условиями преобладания диагональных элементов. В связи с этим часто для обеспечения сходимости метода Гаусса–Зейделя бывает достаточно поменять местами уравнения системы с тем, чтобы на главную диагональ матрицы системы попали наибольшие по абсолютному значению коэффициенты.