- •Предисловие
- •1 Математические модели. Численные методы. Погрешности вычислений
- •1.1 Математические модели и моделирование
- •1.2 Этапы численного решения задач на эвм
- •1.3 Виды погрешностей решения задач
- •1.4 Погрешности арифметических операций
- •1.5 Графы арифметических операций
- •1.6 Распространение погрешностей в вычислениях
- •2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1 Постановка задачи. Методы решения
- •2.2 Метод Гаусса
- •2.2.1 Описание метода Гаусса
- •2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса
- •2.2.3 Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.4 Обращение матрицы
- •2.5 Метод Гаусса–Зейделя
- •2.5.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя
- •2.5.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя
- •2.5.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя
- •3 Аппроксимация функций
- •3.1 Понятие аппроксимации функций
- •3.2 Постановка задачи интерполирования функций
- •3.3 Интерполяционный полином Лагранжа
- •3.4 Конечные и разделенные разности функции
- •3.5 Интерполяционный полином Ньютона
- •3.6 Погрешность интерполирования
- •3.7 Наилучший выбор узлов интерполирования
- •4 Численное интегрирование
- •4.1 Постановка задачи численного интегрирования
- •4.2 Метод прямоугольников
- •4.3 Погрешность метода прямоугольников
- •4.4 Метод трапеций
- •4.5 Погрешность метода трапеций
- •4.6 Метод Симпсона
- •4.7 Погрешность метода Симпсона
- •4.8 Интерполяционные квадратурные формулы
- •4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.9.1 Квадратурная формула Гаусса–Лежандра
- •4.9.2 Квадратурная формула Гаусса–Лагерра
- •4.9.3 Квадратурная формула Гаусса–Эрмита
- •5 Решение нелинейных уравнений
- •5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений
- •5.2 Метод деления отрезка пополам
- •5.3 Метод простой итерации
- •5.4 Метод Ньютона
- •5.5 Метод секущих
- •6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1 Постановка задачи
- •6.2 Метод рядов Тейлора
- •6.3 Метод Эйлера
- •6.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка
- •6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка
- •7 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1 Постановка задачи
- •7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7.3 Метод Эйлера
- •8.2 Выполнение символьных операций Matlab
- •8.3 Создание символьных переменных
- •8.4 Создание группы символьных переменных
- •8.5 Создание списка символьных переменных
- •8.6 Вывод символьного выражения
- •8.7 Упрощение выражений
- •8.8 Вычисление производных
- •8.9 Вычисление интегралов
- •8.10 Вычисление сумм рядов
- •8.11 Вычисление пределов
- •8.12 Разложение функции в ряд Тейлора
- •8.13 Вычисление определителя матрицы, обращение матрицы
- •9 Дополнение
- •9.1 Вычисление значений полиномов
- •9.2 Вычисление корней полиномов
- •9.3 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- •9.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки)
- •9.5 Интерполирование функций сплайнами
- •Литература
- •Оглавление
2.5.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя
Проиллюстрируем сходимость или расходимость метода Гаусса–Зейделя на примере системы уравнений
Сразу отметим, что достаточное условие сходимости метода Гаусса–Зейделя (2.15) для данной системы не выполняется, поскольку
.
В соответствии с рекомендациями метода Гаусса–Зейделя перепишем эту систему в виде
и получим следующие формулы итераций
(2.16)
Решение данной системы определяется как точка пересечения двух прямых и . Эти прямые изображены на рисунке 2.2. В соответствии с формулой итераций (2.16) мы выбираем начальное приближение , подставляем это значение в первое уравнение системы и из него определяем новое приближение . Затем это значение подставляем во второе уравнение системы и из него определяем новое приближение . На этом первая итерация заканчивается. Далее этот процесс повторяется. Описанные итерации изображены на рисунке 2.2 прямыми линиями со стрелками. Мы видим, что итерационный процесс не сходится к решению системы.
Переставим теперь уравнения системы, т.е. будем решать систему
Достаточное условие сходимости метода Гаусса-Зейделя (2.15) теперь выполняется:
.
В соответствии с рекомендациями метода Гаусса–Зейделя перепишем эту систему в виде
и организуем итерационный процесс по формулам
(2.17)
Рисунок 2.2 – Иллюстрация расходимости метода Гаусса–Зейделя
В соответствии с формулой итераций (2.17) мы выбираем начальное приближение , подставляем это значение в первое уравнение системы и из него определяем новое приближение . Затем это значение подставляем во второе уравнение системы и из него определяем новое приближение . Далее этот процесс повторяется. Описанный процесс итераций изображен прямыми линиями со стрелками на рисунке 2.3. Мы видим, что процесс сходится. Таким образом, простой перестановкой уравнений системы мы добились сходимости метода Гаусса–Зейделя.
Рисунок 2.3 – Иллюстрация сходимости метода Гаусса-Зейделя
3 Аппроксимация функций
3.1 Понятие аппроксимации функций
Аппроксимация функции – это замена этой функции другой более простой функцией , близкой к в некотором смысле. В зависимости от критерия близости функций и существуют различные методы аппроксимации.
Если расстояние между функциями и на некотором отрезке действительной прямой определить выражением
,
то аппроксимация функции по критерию минимума такого расстояния будет называться аппроксимацией с минимальной интегральной квадратичной погрешностью.
Если критерий близости функций и состоит в том, чтобы и совпадали в дискретном ряде точек отрезка , то такой способ аппроксимации функции называется интерполированием функции .
Если расстояние между функциями и на некотором отрезке действительной прямой определить выражением
,
то аппроксимация функции по критерию минимума такого расстояния будет называться аппроксимацией по методу наименьших квадратов.