6.2. Теоретическое определение показателей долговечности для экспоненциального распределения.

Функция распределения вероятностей равна:

(6.15)

где λ_p = const - параметр распределения.

Функция плотности распределения вероятностей:

(6.16)

Вероятность недостижения предельного состояния:

(6.17)

График этой функции представляет классическую экспоненту, спадающую со скоростью:

(6.18)

Касательная к кривой P_p(t), проведенной в точке t=0, отсекает на оси абсцисс отрезок, равный 1/λ_p. При этом P_p(t=1/λ_p)=0,37, т.е. только 37% изделий партии не перешли в предельное состояние. Если при t=a, P_p(a)=γ значит γ% изделий не перешли в предельное состояние в этому моменту наработки.

Средний ресурс находится по формуле (6.9)

или

(6.19)

Гамма-процентный ресурс определяется формулой (6.12)

Эта запись означает: вероятность того, что случайный ресурс T_p будет больше искомого γ-прцентного T_pγ, равна .

Следовательно, вероятность того, что при наработке T_pγ объект не перейдет в предельное состояние, также равна

Здесь T_pγ – неизвестная величена, нахождение ее дает ответ:

Назначенный ресурс находим аналогичным способом, используя уравнение (6.14)

При γ=0,7…0,8 назначенный ресурс получает в виде:

(6.20)

Следовательно, для показательного распределения, назначенный ресурс составляет 22%…36% от среднего ресурса.

6.3. Теоретическое определение показателей долговечности для равномерного распределения.

Функции плотности распределения вероятностей для ситуации, когда случайная величина – ресурс лежит в интервале (a,b), равна:

,

где

Вероятность недостижения предельного состояния согласно (6.1) равна:

где F_p(t) для интервала (a,b) имеет вид:

(6.21)

Искомая вероятность равна:

В интервале (a,b) число изделий, достигающих предельного состояния, изменяется по закону:

(6.22)

Средний ресурс найдем по формуле:

(6.23)

Гамма-процентный ресурс найдем с помощью формулы (6.12)

и учитывая (6.21) имеем:

Решая это уравнение относительно T_pγ, получаем:

(6.24)

Если обозначить , то формула (6.24) преобразуется:

(6.25)

Здесь γ=0,1…0,9. Чем выше вероятность недостижения предельного состояния, тем меньше величина искомого ресурса.

Назначенный ресурс находим по формуле (6.14)

и

(6.26)

Для назначенного ресурса γ обычно γ=0,7…0,8