Задания для самостоятельной работы

1. В автомашине 7 мест. Каким количеством способов 7 человек могут усесться в эту машину, если правами водителя обладают только 3 из них?

2. Пять мальчиков и пять девочек рассаживаются в ряд на 10 мест, причем мальчики садятся на нечетные, а девочки – на четные места. Каким количеством способов они могут это сделать?

3. В забеге участвуют 10 мальчиков. Каким количеством способов могут распределиться первые 3 места?

4. Сколько сигналов можно поднять на мачте, имея 4 флага различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее, чем из двух флагов?

5. Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться? Сколько в обоих случаях может получиться четных и нечетных чисел?

6. Энциклопедия состоит из 9 томов. Каким количеством способов ее можно поставить на полке в беспорядке (то есть когда не все тома поставлены в порядке следования их номеров)?

7. Каким количеством способов можно разместить учеников в классе, если присутствуют 26 человек, а мест 28?

8. Из колоды в 36 карт последовательно берется 4 карты. Сколько различных комбинаций при этом может получиться?

9. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин, если все уроки должны быть различны.

10. Подрядчику нужны 4 плотника. К нему с предложением услуг обратилось 10 человек. Каким количеством способов он может выбрать среди них 4?

11. На окружности выбрано 10 точек. Сколько можно провести хорд с концами в этих точках. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках. Сколько выпуклых десятиугольников. Каково число замкнутых ломаных линий с вершинами в этих точках?

12. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и 5 членов комиссии. Сколько различных комиссий может быть составлено?

13. Каким количеством способов можно расположить в один ряд 13 различных карт, если определенные 10 карт должны идти (не обязательно подряд) в заранее выбранном порядке?

14. Каким количеством способов можно выписать в ряд 9 троек и 6 пятерок?

15. Каким количеством способов можно расположить в один ряд 5 красных, 5 белых и 4 черных мяча так, чтобы мячи, лежащие на краях, были одного цвета?

16. Сколько существует различных телефонных номеров, если каждый номер содержит не более 7-ми цифр?

17. Код в секретном замке набирается с помощью 6 цифр. Сколько потребуется времени для перебора всех кодов, если один код устанавливается в среднем за 5 сек.?

18. R шаров нужно разместить по К ящикам. Каким количеством способов это можно сделать?

19. Сигнал составлен из 7 флагов (1 красный, 2 синих, 3 зеленых, 1 белый). Сколько различных сигналов можно составить?

20. Из списка в 5 различных наименований продуктов требуется купить не менее трех. Сколько продуктовых наборов может быть куплено?

Тема 23. Случайное событие и его вероятность

23.1. События и отношения между ними

Определение 1. Опытом (испытанием) называют всякое действие, которое может быть осуществлено неограниченное число раз в неизменных условиях (говорят «при всякой реализации определенного комплекса условий S»).

Определение 2. Событием (исходом) называют всякий результат опыта (испытания).

Определение 3. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при всякой реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S).

Определение 4. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при любой реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S).

Определение 5. Случайным называют событие, которое при реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S) может либо произойти, либо не произойти.

События обозначают большими латинскими буквами , , и т.д.

Будем считать фиксированным комплекс условий и рассмотрим некоторую систему событий , каждое из которых должно при каждом осуществлении комплекса произойти или не произойти.

Определение 6. Если при каждом осуществлении комплекса условий , при котором происходит событие , происходит и событие , то будем говорить, что влечет за собой ( является частным случаем ). Обозначают или .

Определение 7. Если событие влечет за собой и в то же время влечет за собой , то есть если при каждой реализации комплекса условий события и оба наступают или не наступают, то будем говорить, что события и  равносильны между собой. Обозначают .

Замечание. Во всех рассуждениях теории вероятностей равносильные события могут заменять друг друга. Поэтому условимся равносильные события считать тождественными. При всякой реализации комплекса условий S все достоверные события равносильны между собой. Будем обозначать их символом . Все невозможные события также равносильны между собой. Будем обозначать их символом .

Определение 8. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае события называют совместными.

Определение 9. Событие, состоящее в одновременном наступлении событий и , называют произведением (совмещением) событий и . Обозначают .

Замечание. Для несовместных событий и справедливо соотношение .

Определение 10. Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий и , называют суммой событий и . Обозначают .

Замечание. Определения суммы и произведения событий можно обобщить на любое конечное число событий.

Определение 11. Событие, состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит, называют разностью событий и . Обозначают .

Пример 1. Опыт: брошена симметричная игральная кость (кубик). Обозначим события: – «выпадение 6 очков», – «выпадение трех очков», – «выпадение четного числа очков», – «выпадение числа очков, кратного трем». Тогда события , , и связаны соотношениями , , , , .

Определение 12. Совокупность событий , , …, называют полной группой событий, если появление хотя бы одного события из совокупности , , …, в одном испытании является достоверным событием, то есть справедливо равенство .

Определение 13. Событие, заключающееся в том, что событие не происходит, называют противоположным для события . Обозначают .

Замечание. Для противоположных событий одновременно выполняются соотношения: , .

Определение 14. Пусть имеется комплекс условий S и система событий , наступающих или не наступающих после каждой реализации комплекса условий S. Полем событий называют такую систему событий , которая удовлетворяет следующим допущениям:

1) если системе принадлежат события и , то ей принадлежат также события , , ;

2) система содержит достоверное и невозможное события.

Определение 15. Вероятностью события называют численную меру степени объективной возможности наступления этого события.

Определение 16. События и называют равновозможными (равновероятными), если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Определение 17. Пространством элементарных событий (исходов) (группой случаев) называют полную группу попарно несовместных равновозможных случайных событий , , …, . Каждое из событий , , …, называют элементарным событием или элементарным исходом.

Пример 2. Опыт: брошена симметричная монета. Пространство элементарных исходов состоит из двух событий: – «выпал герб», – «выпала цифра».

Пример 3. Опыт: брошена симметричная игральная кость (кубик). Пространство элементарных исходов состоит из шести событий: , , …, , где событие – «выпало очков».

Замечание. Понятие пространства элементарных событий как полной группы попарно несовместных равновозможных случайных событий иногда называют классической схемой. В неклассических схемах под пространством элементарных событий понимают полную группу попарно несовместных событий, исключая равновозможность элементарных исходов.

Пример 4. Опыт: брошена несимметричная монета. Неклассическое пространство элементарных исходов состоит из двух неравновозможных событий: – «выпал герб», – «выпала цифра».

Замечание. Пространство элементарных событий (классическое или неклассическое) обладает следующими свойствами:

1) ;

2) для любых таких, что : .

Поэтому его принято обозначать символом .

149