Задачи с решениями

1. Вычислить где область Т определяется неравенствами

Решение

2. Вычислить если область Т ограничена плоскостями

Решение Область Т ограничена сверху плоскостью z = 2- x - у а снизу —

плоскостью z = 0. Проекцией тела на плоскость хОу служит треугольник, образованный прямыми х = 0, у = 0, у = 2 — х. Следовательно,

3. Вычислить где T — верхняя половина эллипсоида

Решение Проекцией тела на плоскость хОу является эллипс . Поэтому

(при интегрировании сделана подстановка x = 3sint, dx = 3 cos t dt).

4. Вычислить

Решение Перейдем к сферическим координатам. В области Т координаты р, φ, θ

изменяются так: 0 ≤р ≤ R, 0≤ φ ≤ 2π, 0 ≤θ ≤ π . Следовательно

5. Вычислить если область Т ограничена цилиндром и плоскостями у =0, z = 0, z = a.

Решение Перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение цилиндра в этих

координатах примет вид р² cos² φ + р² sin² φ = 2р cos φ, или р² (cos² φ+ sin² φ)= 2р cosφ, т. е. р = 2 cos φ. Следовательно, в области Т координаты р, φ и z изменяются так: 0≤ρ2cosφ, 0≤φ≤π\2, 0≤z≤a. Поэтому

6. Вычислить если область Т — верхняя половина шара

Решение Введем сферические координаты; новые переменные изменяются в пределах

Таким образом,

Задачи

1. Вычислить если область T — прямоугольный параллелепипед, определенный неравенствами

2. Вычислить если область Т ограничена сферой

3. Вычислить если область Т ограничена поверхностями z = xy, y = x, x=l, z = 0.

4. Вычислить если область Т - трехгранная призма, ограниченная плоскостями z = 0, z = а, x=0, y=0, x+y=b ( a>0, b>0).

5. Вычислить если область Т ограничена конической поверхностью

6. Вычислить если область Т ограничена плоскостями

7. Вычислить если область Т ограничена цилиндром

8. Вычислить где область Т — общая часть параболоида

9. Вычислить где область Т ограничена поверхностями

10. Вычислить где область Т — шар

11. Вычислить если Т — шар

Приложения тройного интеграла

Задачи с решениями

1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (рис. 19).

Решение Данное тело ограничено снизу параболоидом z = (x²-\-y²)/h, сверху плоскостью z = h и проецируется в круг x² +y² ≤ h² плоскости хОу. Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет вид г = р²/h. Объем тела равен

2. Вычислить объем призматического тела, ограниченного плоскостями

Решение

Задачи

12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

13. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью z = 0, цилиндрической поверхностью

14. Вычислить объем куба,

15. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

17. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями и цилиндрической поверхностью

Индивидуальное задание

36