Економетрія
Задача 1.
Парна регресія
За територіями регіону приводяться дані за № рік (таблиця варіанту).
Потрібно:
1. Побудувати лінійне рівняння парної регресії у від х.
2. Розрахувати лінійний коефіцієнт парної кореляції і середню похибку апроксимації.
3. Оцінити статистичну значимість параметрів регресії і кореляції за допомогою F-критерію Фішера і t-критерію Стьюдента.
4. Виконати прогноз заробітної плати у при прогнозному значенні х, яке складає 107% від середнього рівня.
5. Оцінити точність прогнозу, розрахувавши похибку прогнозу і його довірчий інтервал.
6. На одному графіку побудувати початкові дані і теоретичну пряму.
Розв’язування.
Початкові дані (тал. 1.1).
Таблиця 1.1.
1. Для розрахунку параметрів рівняння лінійної регресії побудуємо розрахункову таблицю (табл. 1.2).
Таблиця 1.2.
Знаходимо оцінки параметрів рівняння регресії:
Одержимо рівняння регресії:
Звідси випливає, що зі збільшенням прожиткового мінімуму на 1 грн. середньодобова заробітна плата зростає в середньому на 0,92 грн.
2. Тісноту лінійного зв’язку оцінює коефіцієнт кореляції:
Оскільки значення коефіцієнта кореляції більше за 0,7, то є досить тісний лінійний зв’язок між прожитковим мінімумом і заробітною платою.
Знаходимо коефіцієнт детермінації:
Це означає, що 52% варіації заробітної плати (у) пояснюється варіацією фактора х – середньодушового прожиткового мінімуму.
Якість моделі визначається середньою похибкою апроксимації:
Якість побудованої моделі
визнається хорошою, оскільки
не перевищує 10%.
3. Оцінку значимості рівняння регресії в цілому проведемо за допомогою F-критерію Фішера. Фактичне значення F-критерію:
Табличне значення критерію при п’ятивідсотковому рівні значимості і степенях k1=1 і k2=12-2=10 складають Fтабл=4,96. Оскільки Fфакт=10,88> Fтабл=4,96, то рівняння регресії визнається статистично значимим.
Оцінку статистичної значимості параметрів регресії проведемо за допомогою t- статистики Стьюдента і шляхом розрахунку довірчого інтервалу кожного показника.
Табличне значення t-критерію для числа степенів свободи
і
складає
tтабл=2,23.
Визначимо випадкові похибки
,
,
(залишкова
дисперсія на одну степінь свободи
Тоді
Фактичне значення t- статистики більше за табличне значення:
тому параметри а, b і rxy не випадково відрізняються від нуля, а є статистично значимими.
Розрахуємо довірчі інтервали для параметрів регресії а, b. Для цього визначимо граничну похибку для кожного показника:
Довірчі інтервали:
Аналіз верхньої і нижньої меж довірчих інтервалів приводять до висновку про те, що з імовірністю p=1-=0,95 параметри а, b, знаходячись у вказаних межах, не приймають нульових значень, тобто є статистично значимими і не приймають нульових значень.
4. Одержані оцінки рівняння регресії дозволяють використати його для прогнозу. Якщо прогнозне значення прожиткового мінімуму складає:
то індивідуальне прогнозне значення заробітної плати складе:
Одержані величини вимірюються в грн.
5. Оцінка пронозу складає:
Гранична похибка пронозу, яка в 95% випадків не буде перевищена, складає:
Довірчий інтервал прогнозу:
і
Виконаний прогноз середньодобової заробітної плати є надійним із імовірністю 0,95 і знаходиться в межах від 131,92 грн. до 190,66 грн.
6. Побудуємо на одному графіку початкові дані і теоретичну пряму (рис. 1.1).
Рис. 1.1.