6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности

6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.

Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии

#G0Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:	1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
2 Сумма значений наблюдаемых величин:	2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
3 Известное значение дисперсии:	3 Вычисляем:
4 Выбранная доверительная вероятность:	4 Вычисляем:
	5 Вычисляем:
Результаты
1 Точечная оценка параметра :
2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для :
.
3 Односторонние доверительные интервалы для :
или
.
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Примеры

1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение . Интервал может быть:

- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать ;

- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что не выше какого-то значения;

- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что не ниже какого-то значения.

2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром ), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки . Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.

Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии

#G0Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:	1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:
2 Сумма значений наблюдаемых величин:	2 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:	3 Вычисляем:
4 Степени свободы:	4 Вычисляем:
5 Выбранная доверительная вероятность:	5 Вычисляем:
	6 Вычисляем:
	7 Вычисляем:
Результаты
1 Точечная оценка параметра :
2 Точечная оценка параметра :
3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра :
.
4 Односторонние доверительные интервалы для параметра :
(1)
или
. (2)
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Примеры - Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.

6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.

Таблица 6.3 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением при известной дисперсии

#G0Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:	1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
2 Сумма значений наблюдаемых величин:	2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
3 Заданное значение:	3 Вычисляем:
4 Известное значение дисперсии генеральной совокупности:
или стандартного отклонения:
5 Выбранный уровень значимости:
Результаты
Сравнение выборочного среднего значения с заданным значением :
1 В двустороннем случае:
Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
2 В одностороннем случае:
а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение известно.

Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.

6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.

Таблица 6.4 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением при неизвестной дисперсии

#G0Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:	1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:
2 Сумма значений наблюдаемых величин:	2 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:	3 Вычисляем:
4 Заданное значение:	4 Вычисляем:
5 Степени свободы:	5 Вычисляем:
6 Выбранный уровень значимости:
Результаты
Сравнение выборочного среднего значения с заданным значением :
1 В двустороннем случае:
Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
2 В одностороннем случае:
а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Примеры