Билет n1 Матрицы и действия над ними

Пусть даны m*n чисел. Расположим их в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Каждое из чисел, входящее в эту таблицу называется элементами матрицы, а сама квадратная таблица называется матрицей порядка m*n.

Каждому элементу припишем два индекса a_ij i=N строки, j=N столбца.

Пусть даны две матрицы A и B порядке m*n. Они равны между собой, если для всех i и j выполняется равенство : a_ij = b_ij

Пусть две матрицы A и B порядка m*n. Под суммой понимается третья матрице C, элементы которой равны : c_ij = a_ij + b_ij

A+B=C A+B=B+A

Пусть дана матрица A, то произведение матрицы A на число понимается матрица, элементами которой являются элементы A*α .

Особую роль играют квадратные матрицы

- главная диагональ (элементы a_ii ), -побочная диагональ.

Среди квадратных матриц выделяют единичную матрицу :

Пусть дана матрица A порядка m*n. Если у этой матрицы поменять местами строки на столбцы, то полученная матрица называется Транспонированной по отношению к A.(A^T)

Умножение матриц

Пусть дана A m*n и B n*s. Под произведением A*B понимается С: : c_ij =Σ a_in b_nj

A*B=B*A –даже для квадратных матриц.

Билет N2

Определитель- число, полученное из элементов матрицы определенным правилом :

Если в определителе 3 ого порядка вычеркнуть i-ую строку j-ий столбец, то оставшиеся элементы образуют определитель 2 ого порядка, т е. определитель порядка на 1 меньше исходного.

( M_ij ) Минором элемента a_ij - называется определитель, полученный после вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца.

( A_ij ) Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется минор, взятый со знаком (-1)^i+j

A_ij= (-1)^i+j M_ij

Определителем 3 ого порядка называется число= Σ произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁ A₁₁+ a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

Определителем n-ого порядка называется число=Σ произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение.

Свойства определителей

1 Определитель Матрицы A=Определителю A транспонировано. │A│= │A^T│

│A│= │A^T│

2 Если в определители поменять местами какие-либо 2 строки(столбца) то определитель изменит знак на противоположный.

3 Если в определителе 2 одинаковых столбца(строки), то он равен 0.

4 Определитель=Σ произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.

5 Если элементы какой-либо строки(столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

a₁₁ a₁₂ = K a₁₁ a₁₂

ka₂₁ ka₂₂ ka₂₁ ka₂₂

6 Если элементы какой-либо строки(столбца) представляют собой Σ 2-х чисел, то такой определитель= Σ 2-х определителей.

a₁₁ a₁₂ = a₁₁ a₁₂ + a₁₁ a₁₂

a₂₁+b₂₁ a₂₂+b₂₂ a₂₁ a₂₂ b₂₁ b₂₂

7 Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы Любой другой строки (столбца) умноженное на любое число, то определитель не изменится.

8 Если в определителе под(над) главной диагональю все элементы=0, то такой определитель= произведению элементов, стоящих на главной диагонали :

a₁₁ a₁₂ a₁₃

0 a₂₂ a₂₃ = a₁₁ a₂₂ a₃₃

0 0 a₃₃

9 Пусть нам дан определитель. Тогда сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) на алгебраическое дополнение любой другой строки(столбца)=0.

Билет N3

Системы линейных уравнений

Системы m линейных уравнений с n неизвестными, называются системы следующего вида :

Числа b₁,b₂… b_m– свободные члены

Если в (*) все свободные члены=0, то (*)- это однородная, в противном случае неоднородная.

5/x₁+x₂=0 не линейная система

Решение системы (*)- это всякий упорядоченный набор из n чисел x₁⁰,x₂⁰ , …, x_n⁰, такой, что при его подстановке в каждое из уравнений системы (*) последнее превращается в тождество

В дальнейшем мы будем рассматривать линейные системы n-уравнений c n неизвестными

Oопределитель

a₁₁ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

∆ = ……………. – определитель системы (**)

a_n1 a_n2 … a_nn

Th1 (Крамера)

Пусть нам дана система (**). Если ∆(**)≠0, то (**) имеет, и при том, единственное решение, даваемое формулами Крамера :

x₁=∆x₁/∆ ,x₂=∆x₂/∆ ,…,x_n= ∆x_n/∆

Где ∆x_k -определитель для неизвестного x_k, которое получается из определителя системы путем замены k-ого столбца свободными членами b₁,b₂,…,b_n

Например : ∆x₁=

b₁ a₁₂ … a_1n

b₂ a₂₂ … a_2n

∆x₁= …………….

b_n a_n2 … a_nn

Доказательство

Покажем, что (**) имеет решение. Покажем, что числа x₁=∆x₁/∆ ,x₂=∆x₂/∆ ,…,x_n=∆x_n/∆ являются решением (**)

Подставим указанные числа в первое уравнение системы:

a₁₁(∆x₁/∆)+a₁₂(∆x₂/∆)+…+ a_1n (∆x_n/∆)=(1/∆)[ a₁₁(b₁A₁₁+b₂ A₂₁+…+b_n A_n1)+a₁₂(b₁A₁₂+b₂ A₂₂+…+b_n A_n2)+a_1n(b₁A_1n+b₂ A_2n+…+b_n A_nn)]= (1/∆)[ b₁(a₁₁A₁₁+a₁₂A₂₁+…+a_1nA_1n) +b₂(a₁₁A₂₁+a₁₂A₂₂+…+a_1nA_2n)+ b_n(a₁₁A_n1+a₁₂A_n2+…+a_1nA_nn)]= (1/∆)[ b₁∆+b₂0+…+ b_n0]=

(1/∆) b₁∆ =b₁ .

Ясно, что проделав аналогичную операцию для оставшихся n-1 уравнений, мы получим ровно n тождеств, что означает, что указанный набор чисел – есть решение (**).

Покажем теперь, что система (**) имеет единственное решение

Пусть x₁⁰,x₂⁰ , …, x_n⁰ - какое-либо решение (**).

Подставляя это решение в каждое из уравнений (**) мы получим n тождеств :

x₁⁰(a₁₁A₁₁+a₂₁ A₂₁+…+a_n1 A_n1)+ x₂⁰ (a₁₂A₁₁+a₂₂ A₂₁+…+a_n2 A_n1)+…+ x_n⁰ (a_1nA₁₁+a_2n A₂₁+…+a_nn A_n1)= ∆x₁

∆x₁⁰ =∆x₁, т.к.∆ ≠0, то x₁⁰=∆x₁/∆

Аналогичным образом легко показать, что,x₂⁰=∆x₂/∆ ,…,x_n⁰=∆x_n/∆ т.е. получили, что любое решение (**) определяется формулами Крамера, что означает единственность решения ч.т.д.