Конспект по алгебре с матмеха СПбГУ

wwedenie

bla-bla-bla

sodervanie kursa

I semestr.

gL.0. mNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ gL.1. mONOIDY I GRUPPY

gL.2. kOLXCA I POLQ

gL.3. mODULI I WEKTORNYE PROSTRANSTWA

gL.4. kOMPLEKSNYE ^ISLA, KWATERNIONY, OKTAWY gL.5. wY^ISLENIQ W LINEJNOJ ALGEBRE

II semestr.

gL.1. aRIFMETIKA KOMMUTATIWNYH KOLEC gL.2. mNOGO^LENY I RACIONALXNYE DROBI gL.3. kONE^NYE POLQ

gL.4. mNOGO^LENY OT NESKOLXKIH PEREMENNYH gL.5. oSNOWY TEORII GRUPP

gR.6. mODULI NAD DEDEKINDOWYMI KOLXCAMI

III semestr

gL.1. kANONI^ESKAQ FORMA LINEJNOGO OTOBRAVENIQ gL.2. kANONI^ESKAQ FORMA LINEJNOGO OPERATORA gL.3. pROSTRANSTWA SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM gL.4. tENZORY I WNE[NQQ ALGEBRA

2

dLQ WSEH I NI DLQ KOGO

nASTOQ]AQ KNIGA PREDSTAWLQET SOBOJ (SLEGKA) RAS[IRENNYJ KONSPEKT OB]E- GO KURSA ALGEBRY, KOTORYJ Q ^ITAL NA MATEMATIKO-MEHANI^ESKOM FAKULXTETE sANKT-pETERBURGSKOGO uNIWERSITETA NA^INAQ S 1981 GODA, I OSNOWANA NA FAKTI^ESKIH ZAPISQH KURSOW ALGEBRY DLQ SPECIALXNOSTI ‘PRIKLADNAQ MATEMATIKA’ 1997/1998, 1999/2000 I 2001/2002 GODOW, S WKL@^ENIEM NESKOLXKIH TEM, KOTORYE NE WHODILI W OB]IJ KURS, NO RASSKAZYWALISX W BOLEE INTENSIWNOM KURSE ALGEBRY, KOTORYJ Q ^ITAL pomi-GRUPPE.

kNIGA RASS^ITANA, W PERWU@ O^EREDX, NA SLEDU@]IE KATEGORII ^ITATELEJ:

²kAK OSNOWNOJ U^EBNIK DLQ TEH, KTO WPERWYE SERXEZNO ZNAKOMITSQ S ALGEBROJ, SKAVEM NA MLAD[IH KURSAH UNIWERSITETA, W RAMKAH TAKIH SPECIALXNOSTEJ, KAK PRIKLADNAQ MATEMATIKA, PROGRAMMIROWANIE, FIZIKA, TEORIQ UPRAWLENIQ, KRISTALLOGRAFIQ ILI KRIPTOGRAFIQ I KODIROWANIE.

²kAK WSPOMOGATELXNYJ \LEMENTARNYJ U^EBNIK DLQ STUDENTOW W OBLASTI ^ISTOJ MATEMATIKI. oDNAKO S TO^KI ZRENIQ PROFESSIONALXNOGO MATEMATIKA \TOT U^EBNIK W CELOM SLI[KOM KONSERWATIWEN I DOLVEN BYTX DOPOLNEN ^TENIEM BOLEE PRODWINUTYH ISTO^NIKOW, POD^ERKIWA@]IH TEORETIKO-KATEGORNYE, TOPOLOGI- ^ESKIE I GEOMETRI^ESKIE ASPEKTY.

²mATEMATIKOW-NESPECIALISTOW, FIZIKOW, PROGRAMMISTOW I INVENEROW, KOTORYE W PRINCIPE UVE KOGDA-TO ^TO-TO SLY[ALI OB ALGEBRE, NO ZABYLI SLOWA IDEAL I GOMOMORFIZM, HOTQT OSWEVITX SWOI ZNANIQ ILI BYSTRO POLU^ITX SPRAWKU PO INTERESU@]EMU IH KONKRETNOMU WOPROSU.

²wSEH, KTO PREPODAET ALGEBRU NA UNIWERSITETSKOM UROWNE I PRODUMYWAET RAZLI^NYE WOZMOVNOSTI POSTROENIQ KURSA, ILI PROSTO I]ET NOWYE PRIMERY I BOLEE PROSTYE DOKAZATELXSTWA OSNOWNYH FAKTOW.

rAZUMEETSQ, \TO NE ISKL@^AET WOZMOVNOSTI ISPOLXZOWANIQ \TOJ KNIGI DRUGIMI KATEGORIQMI ^ITATELEJ, ‘[KOLXNIKAMI STAR[IH KLASSOW I SPOSOBNYMI ASPIRANTAMI’ (kIRILLOW, [Ki] STR.?), ILI DLQ DRUGIH CELEJ W KA^ESTWE pillowbook, PODSTAWKI POD NOVKU STOLA, I TOMU PODOBNOE.

x ?. pREREKWIZITY

fORMALXNO MY NE PREDPOLAGAEM, ^TO ^ITATELX IMEET KAKU@-NIBUDX PODGOTOWKU W OBLASTI MATEMATIKI, WKL@^AQ [KOLXNU@ MATEMATIKU, KROME ZNANIQ SLEDU@]IH TREH WE]EJ:

²OSNOWNYE ALGEBRAI^ESKIE OPERACII NAD CELYMI I RACIONALXNYMI ^ISLAMI;

²DEKARTOWY I POLQRNYE KOORDINATY;

²OSNOWNYE TEORETIKO-MNOVESTWENNYE OBOZNA^ENIQ.

wSE OSTALXNYE PONQTIQ, WKL@^AQ WE]ESTWENNYE ^ISLA, “\LEMENTARNYE” FUNKCII I T.D. NAMI OPREDELQ@TSQ.

|TO SWQZANO S TEM, ^TO Q SOWER[ENNO NE UDOWLETWOREN TEM, KAK \TO OBY^NO DELAETSQ W [KOLXNOJ PROGRAMME. nAIBOLEE SU]ESTWENNYE MOMENTY TAKOWY.

²iSPOLXZUEMOE W [KOLE OPREDELENIE WE]ESTWENNOGO ^ISLA ^EREZ “BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI” BESSMYSLENNO, TAK KAK NE POZWOLQET WWESTI ALGEBRAI^ESKIE OPERACII NAD WE]E- STWENNYMI ^ISLAMI.

²{KOLXNOE OPREDELENIE POKAZATELXNOJ FUNKCII “SODERVIT SU]ESTWENNYE PROBELY I SOWER[ENNO NEDOSTUPNO [KOLXNIKU (ESLI, KONE^NO, TREBOWATX PONIMANIQ, A NE ZAU^IWANIQ)”

3

²{KOLXNOE OPREDELENIE TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ OPIRAETSQ NA OPREDELENIE DLINY DUGI, KOTOROE NE TOLXKO NE OPREDELQETSQ. NO I W PRINCIPE NE MOVET BYTX OPREDELENO NA UROWNE \LEMENTARNOJ MATEMATIKI.

²bEZ FORMUL |JLERA I DE mUAWRA [KOLXNAQ TRIGONOMETRIQ PREWRA]AETSQ W BESSMYSLENNYJ PANOPTIKUM FORMUL, PREDSTAWLQ@]IJ INTERES TOLXKO S TO^KI ZRENIQ SOSTAWITELEJ ZADA^ DLQ WSTUPITELXNYH \KZAMENOW W WUZY.

kONE^NO, FAKTI^ESKI MY PREDPOLAGAEM U STUDENTA NEKOTORYJ UROWENX MATEMATI^E- SKOJ KULXTURY, KOTORYJ WYRABATYWAETSQ W REZULXTATE 5–6 LET IZU^ENIQ mATEMATIKI I OBY^NO DOSTIGAETSQ K OKON^ANI@ 9–10 KLASSA HORO[EJ pETERBURGSKOJ [KOLY. pREDPOLAGAEMYE NAMI \LEMENTY MATEMATI^ESKOJ KULXTURY \TO W PERWU@ O^EREDX:

²gOTOWNOSTX WOSPRINIMATX NOWYE PONQTIQ;

²sPOSOBNOSTX ZAME^ATX ANALOGII MEVDU PONQTIQMI I UTWERVDENIQMI;

²uMENIE OTLI^ATX SKAZANNOE OT PODRAZUMEWAEMOGO I PRINIMATX WE]I PO NOMINALU (face value);

²pERWONA^ALXNOE ZNAKOMSTWO S AKSIOMATI^ESKIM METODOM;

²aWTOMATIZM W PRIMENENII PROSTEJ[IH ZAKONOW LOGIKI (ESLI A =) B, TO :B =) :A; ESLI

A I A =) B, TO B; etc.);

²wLADENIE STANDARTNYMI PRIEMAMI DOKAZATELXSTWA (INDUKCIQ, RAZBIENIE NA SLU^AI1, DOKAZATELXSTWO OT PROTIWNOGO, etc.)

²uMENIE STROITX CEPO^KI IZ DWUH–TREH IMPLIKACIJ;

²nAWYK SLEDITX ZA DLINNYMI CEPO^KAMI RASSUVDENIJ;

²uMENIE OTLI^ATX DOKAZANNOE OT NEDOKAZANNOGO;

²pRIWY^KA K POLNOTE ANALIZA;

²aWTOMATIZM ALGEBRAI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ2;

²uMENIE PODSTAWLQTX WYRAVENIQ W DRUGIE WYRAVENIQ3.

nIKAKIH DRUGIH ZNANIJ, UMENIJ I NAWYKOW NE PREDPOLAGAETSQ. oSNOWNAQ SLOVNOSTX IZU^E- NIQ ALGEBRY NA NA^ALXNOM \TAPE SOSTOIT W PRINCIPIALXNO BOLEE WYSOKOM UROWNE ABSTRAKCII, NEOBY^NOSTI QZYKA, WESXMA ZNA^ITELXNOM KOLI^ESTWE OPREDELENIJ, KOTORYE NUVNO ZAPOMNITX, I PONQTIJ, KOTORYMI NUVNO OWLADETX, PREVDE ^EM UDAETSQ SFORMULIROWATX PERWYE DEJSTWITELXNO SODERVATELXNYE I WOLNU@]IE REZULXTATY. bOLX[INSTWO NA^INA@]IH PYTA@TSQ ZAPOMNITX TO, ^TO NUVNO PONQTX, I PONQTX TO, ^TO NUVNO ZAPOMNITX. pERWYE 5–6 MESQCEW STUDENT DOLVEN PROSTO WERITX SWOIM U^ITELQM I PYTATXSQ PEREWARITX WSE, ^TO EMU SKARMLIWA@T, PONIMANIE PRIDET POZVE.

w RAZDELAH, NABRANNYH MELKIM [RIFTOM (eightpoint), MOGUT UPOMINATXSQ KONCEPCII I FAKTY, KOTORYE NE OBSUVDA@TSQ W NASTOQ]EM KURSE, W ^ASTNOSTI, PONQTIQ I TEOREMY gEOMETRII, tOPOLOGII, aNALIZA, tEORII dIFFERENCIALXNYH uRAWNENIJ, tEORII wEROQTNOSTEJ I DRUGIH RAZDELOW mATEMATIKI, A TAKVE (REVE!) DRUGIH NAUK (fIZIKI, Computer Science, kRISTALLOGRAFII, lINGWISTIKI, hIMII, iNVENERNYH nAUK). wSE ^ASTI TEKSTA, NABRANNYE MELKIM [RIFTOM, LIBO ADRESOWANY KWALIFICIROWANNYMU ^ITATEL@, LIBO OPIRA@TSQ NA PONQTIQ KOTORYE NE OBSUVDA@TSQ W NASTOQ]EM KURSE, LIBO NOSQT ^ISTO ILL@STRATIWNYJ ILI RAZWLEKATELXNYJ HARAKTER. |TI FRAGMENTY NE ISPOLXZU@TSQ W OSNOWNOM TEKSTE (NABRANNOM [RIFTOM tenpoint), NE WHODQT W OBQZATELXNU@ PROGRAMMU I DOLVNY BYTX PROPU]ENY NA^INA@]IM PRI PERWOM ^TENII.

1eSLI A & B =) C I A & :B =) C, TO A =) C.

2s TO^KI ZRENIQ ALGEBRY RE^X ZDESX IDET O WY^ISLENIQH W KOMMUTATIWNYH ASSOCIATIWNYH KOLXCAH S 1. oDNA IZ OSNOWNYH CELEJ NASTOQ]EGO KURSA KAK RAZ I SOSTOIT W WYRABOTKE AWTOMATIZMA W PROWEDENIQ WY^ISLENIJ W NEKOMMUTATIWNYH KOLXCAH, TAKIH, KAK KOLXCA MATRIC, I W PERWOM ZNAKOMSTWE S WY^ISLENIQMI W NEASSOCIATIWNYH KOLXCAH.

3wAVNEJ[IJ NAWYK! sTANDARTNOJ DLQ BOLX[INSTWA [KOL QWLQETSQ SITUACIQ, KOGDA U^E- NIK POMNIT FORMULU DLQ RE[ENIQ URAWNENIQ ax2 + bx + c = 0, NO NE W SOSTOQNII RE[ITX

2

4

o MATEMATIKE I EE IZU^ENII

1. wY^ISLENIQ I RASSUVDENIQ. dLQ NEPOSWQ]ENNOGO NAIBOLEE HARAKTERNOJ ^ERTOJ MATEMATIKI QWLQ@TSQ FORMULY I WY^ISLENIQ. dEJSTWITELXNO, W MATEMATI^ESKIH TEKSTAH ^ASTO WSTRE^A@TSQ FORMULY NEKOTORYH SPECIALXNYH TIPOW, NO ISPOLXZOWANIE FORMUL PO KRAJNEJ MERE STOLX VE HARAKTERNO DLQ MNOGIH DRUGIH DISCIPLIN, SKAVEM, DLQ HIMII I MUZYKI, A W MATEMATI^ESKIH TEKSTAH KROME FORMUL WSTRE^A@TSQ SLOWA I KARTINKI, PRI^EM NEKOTORYE WIDY SLOW I KARTINOK STOLX VE HARAKTERNY DLQ MATEMATIKI, KAK NEKOTORYE WIDY FORMUL. iMEETSQ MNOGO TIPOW PSEWDOMATEMATI^ESKIH FORMUL, ISPOLXZUEMYH W TEKSTAH PO SOCIALXNYM NAUKAM, \KONOMIKE, PSIHOLOGII, WOENNOMU DELU I T.D., KOTORYE NE IME@T NI^EGO OB]EGO S ISPOLXZOWANIEM FORMUL W MATEMATIKE I KOTORYE DLQ PROFESSIONALXNOGO MATEMATIKA WYGLQDQT SOWER[ENNO ANEKDOTI^ESKI. |TO RITUALXNOE ISPOLXZOWANIE FORMUL, “GROMKAQ MUZYKA, PRIZWANAQ SOBLAZNQTX GLUPYH L@DEJ”. mATEMATIKI REDKO POLXZU@TSQ FORMULAMI W RITUALXNYH CELQH, A MNOGIE MATEMATIKI STARA@TSQ WOOB]E NE ISPOLXZOWATX FORMUL DLQ PEREDA^I TEH MYSLEJ, KOTORYE LEGKO WYRAZITX SLOWAMI ILI RISUNKAMI.

~TO VE KASAETSQ WY^ISLENIJ, TO MATEMATIKAM DEJSTWITELXNO INOGDA PRIHODITSQ ^TO-TO WY^ISLQTX, ODNAKO W CELOM MATEMATIK PROWODIT ZNA^ITELXNO MENX[E WY^ISLENIJ, ^EM, SKAVEM, FIZIKI, ASTRONOMY, HIMIKI, INVENERY ILI \KONOMISTY. w L@BOM SLU^AE \TO SOWSEM NE TE WY^ISLENIQ, KOTORYM U^AT W [KOLE. oDNAKO DEJSTWITELXNO HARAKTERNYM DLQ RABOTY MATEMATIKA QWLQ@TSQ NE WY^ISLENIQ, A POSTROENIE CEPO^EK RASSUVDENIJ, ZAMENQ@]IH WY^ISLENIQ. s TO^KI ZRENIQ PROFESSIONALA, MATEMATIKA NE ESTX ISKUSSTWO PROWODITX WY^ISLENIQ, A ISKUSSTWO IZBEGATX WY^ISLENIJ. nA SAMOM DELE, WIRTUOZNYJ S^ET REDKO QWLQETSQ SAMOCELX@ ILI PREDMETOM OSOBOJ GORDOSTI MATEMATIKA, \TO PROSTO \LEMENT EGO PROFESSII, POBO^NYJ PRODUKT NAWYKA PROWEDENIQ RASSUVDENIJ. cELX@ MATEMATIKA I EGO GLAWNYM INSTRUMENTOM QWLQ@TSQ NE WY^ISLENIQ, A QSNOE MY[LENIE.

2. dOKAZATELXSTWA. e]E ODNOJ BROSA@]EJSQ W GLAZA ^ERTOJ MATEMATIKI QWLQETSQ NALI- ^IE DOKAZATELXSTW. sOBSTWENNO, MATEMATIK – \TO TOT, KTO UMEET NAHODITX DOKAZATELXSTWA. tAK, TRAKTAT nIKOLA bURBAKI NA^INAETSQ SO SLEDU@]EJ KONSTATACII: “sO WREMEN GREKOW GOWORITX “MATEMATIKA” – ZNA^IT GOWORITX “DOKAZATELXSTWO”. nEKOTORYE SOMNEWA@TSQ DAVE, ^TO WNE MATEMATIKI IME@TSQ DOKAZATELXSTWA W TOM TO^NOM I STROGOM SMYSLE, KAKOJ POLU^ILO \TO SLOWO U GREKOW I KAKOJ MY HOTIM PRIDATX EMU ZDESX”. dEJSTWITELXNO, W TE^ENIE MNOGIH STOLETIJ ZA PREDELAMI MATEMATIKI NE BYLO NI^EGO HOTQ BY OTDALENNO PRIBLIVA@]EGOSQ PO STEPENI UBEDITELXNOSTI K MATEMATI^ESKIM DOKAZATELXSTWAM. aRGUMENTACIQ, PRIWODIMAQ OBY^NO W PODTWERVDENIE SWOIH KONCEPCIJ SPECIALISTAMI W OBLASTI ‘ESTESTWENNYH’ NAUK, OBY^NO NE WYDERVIWAET NIKAKOJ KRITIKI S TO^KI ZRENIQ PRINQTYH W MATEMATIKE STANDARTOW, A TO, ^TO NAZYWAETSQ ‘ARGUMENTACIEJ’ U FILOSOFOW I PREDSTAWITELEJ ‘OB]ESTWENNYH’ NAUK, S \TOJ TO^KI ZRENIQ WOOB]E NE ZASLUVIWAET OBSUVDENIQ.

wPRO^EM, W POSLEDNIE DESQTILETIQ DOSTATO^NO UBEDITELXNYE – A INOGDA I PROSTO PO^TI BEZUPRE^NYE – MATEMATI^ESKIE DOKAZATELXSTWA WSTRE^A@TSQ WO MNOGIH RABOTAH PO TEORETI^E- SKOJ FIZIKE, SKAVEM, PO KWANTOWOJ TEORII POLQ, GRAWITACII, STATISTI^ESKOJ FIZIKE, I T.D., A TAKVE PO TEORII UPRAWLENIQ, TEORII SWQZI I NEKOTORYM DRUGIM OBLASTQM ZNANIQ. wPRO^EM, bURBAKI MOG BY WOZRAZITX NA \TO, ^TO \TI RAZDELY NAUKI QWLQ@TSQ SKOREE MATEMATIKOJ – ILI, TO^NEE, MATEMATI^ESKOJ DEQTELXNOSTX@, ^EM SOBSTWENNO FIZIKOJ ILI INVENERNYMI DISCIPLINAMI W TRADICIONNOM PONIMANII.

3. oPREDELENIE – FORMULIROWKA – DOKAZATELXSTWO. oDNAKO PROFESSIONALXNYJ MA-

TEMATIK ZNAET, ^TO HARAKTERISTIKOJ MATEMATIKI QWLQ@TSQ NE DOKAZATELXSTWA SAMI PO SEBE,

A TRIADA OPREDELENIE – FORMULIROWKA – DOKAZATELXSTWO, PRI^EM OSNOWOJ \TOJ TRIA-

DY QWLQ@TSQ IMENNO OPREDELENIQ. nI ODNA DRUGAQ OBLASTX ^ELOWE^ESKOJ DEQTELXNOSTI NE ZNAET NI^EGO PODOBNOGO MATEMATI^ESKOMU DOKAZATELXSTWU PO STEPENI UBEDITELXNOSTI IMENNO POTOMU, ^TO ONA NE ZNAET NI^EGO PODOBNOGO MATEMATI^ESKOMU OPREDELENI@. sLEGKA PEREFRAZIRUQ rASSELA, MOVNO KONSTATIROWATX, ^TO W mATEMATIKE MY ZNAEM, WERNO LI TO, ^TO MY GOWORIM. bOLEE GLUBOKAQ PRI^INA, TOGO, ^TO MY ZNAEM, WERNO LI TO, ^TO MY GOWORIM, SOSTOIT W TOM, ^TO MY ZNAEM, ^TO MY GOWORIM. w SWO@ O^EREDX PRI^INA TOGO, ^TO MY ZNAEM, ^TO GOWORIM, SOSTOIT W TOM, ^TO, W OTLI^IE OT BOLX[INSTWA OSTALXNYH OBLASTEJ ^ELOWE^ESKOJ DEQTELXNOSTI, MY ZNAEM O ^EM MY GOWORIM.

pO\TOMU NA^INA@]IJ DOLVEN PREVDE WSEGO KONTROLIROWATX, PONIMAET LI ON, O ^EM GOWORITSQ, ZATEM, PONIMAET LI ON, ^TO GOWORITSQ I TOLXKO POSLE \TOGO MOVNO NA^INATX ZADU-

5

rAZUMEETSQ, PO MERE OWLADENIQ PREDMETOM ON NA^NET ZADUMYWATXSQ NAD DRUGIMI WOPROSAMI: PO^EMU \TO GOWORITSQ, PO^EMU \TO WERNO, I, NAKONEC, PO^EMU GOWORITSQ IMENNO \TO.

4. Face value. sAMAQ ZNA^ITELXNAQ TRUDNOSTX DLQ NEMATEMATIKA SOSTOIT IMENNO W TOM, ^TOBY PONQTX, ^TO MATEMATI^ESKIE PONQTIQ WYRAVA@T ROWNO TO, ^TO GOWORITSQ W IH OPREDELENII. ~TO TAKOE KWADRATNYJ KORENX IZ ¡1 – \TO PROSTO KWADRATNYJ KORENX IZ ¡1. Allez en evant et la foi vous viendra.

tRUDNO DATX SKOLX-NIBUDX UDOWLETWORITELXNOE OPREDELENIE TAKIH PONQTIJ, KAK ‘MY[LENIE’ ILI ‘^ELOWEK’ ILI DAVE TAKIH PROSTEJ[IH PONQTIJ, KAK ‘\LEKTRON’ ILI ‘STUL’. dELO W TOM, ^TO WE]I ILI QWLENIQ, OPISYWAEMYE \TIMI PONQTIQMI, SU]ESTWU@T DO I, PO WSEJ WIDIMOSTI, NEZAWISIMO OT \TIH OPREDELENIJ. w TO VE WREMQ, SMYSL, W KOTOROM SU]ESTWU@T MATEMATI^ESKIE PONQTIQ, UVE NE STOLX O^EWIDEN.

oDNAVDY POSLE LEKCII KO MNE PODO[LA STUDENTKA PERWOGO KURSA I SPROSILA: “~TO TAKOE KOLXCO?” –

“nU KAK VE, – OTWETIL Q – \TO MNOVESTWO S DWUMQ BINARNYMI OPERACIQMI : : : ,” “|TO Q POMN@, A WSE-TAKI, ^TO \TO TAKOE?”

“nU POSMOTRITE NA PRIMERY, WOT CELYE ^ISLA OBRAZU@T KOLXCO OTNOSITELXNO OBY^NYH OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ, MNOGO^LENY, MATRICY, : : : ,”

“|TO Q TOVE POMN@, A WSE TAKI, ^TO TAKOE KOLXCO?”

pERWYJ NAWYK, KOTORYM DOLVEN OWLADETX KAVDYJ, WSERXEZ VELA@]IJ PONQTX MATEMATIKU, QWLQETSQ UMENIE WOSPRINIMATX WSE BUKWALXNO

9.kONTROLIRUEMAQ TO^NOSTX. e]E ODNIM \PITETOM, TRADICIONNO HARAKTERIZU@]IM MATEMATIKU, QWLQETSQ SSYLKA NA EE TO^NOSTX. dEJSTWITELXNO, MATEMATIKA PREDPOLAGAET ZNA^ITELXNO BOLX[U@ TO^NOSTX, ^EM PO^TI WSE OSTALXNYE WIDY ^ELOWE^ESKOJ DEQTELXNOSTI I NA PROTQVENII MNOGIH WEKOW EE EDINSTWENNYMI SOPERNIKAMI W \TOM OTNO[ENII BYLI LI[X ESTESTWENNYJ QZYK I MUZYKA. zAMETIM, WPRO^EM, ^TO ORIENTALXNAQ KULXTURA PORODILA TAKIE PRAWOPOLU[ARNYE ZANQTIQ, KAK KITAJSKAQ KALLIGRAFIQ ILI QPONSKIE BOEWYE ISKUSSTWA, TREBU@]IE TO^NOSTX, SOPOSTAWIMU@ S TO^NOSTX@ OBY^NOJ W MATEMATIKE.

oDNAKO W NASTOQ]EE WREMQ TO^NOSTX MATEMATIKI NE QWLQETSQ ^EM-TO ISKL@^ITELXNYM. w DEJSTWITELXNOSTI W NASTOQ]EE WREMQ IMEETSQ NESKOLXKO OBLASTEJ DEQTELXNOSTI, KOTORYE TREBU@T TO^NOSTI BOLX[EJ, INOGDA ZNA^ITELXNO BOLX[EJ, ^EM MATEMATIKA. rE^X IDET NE TOLXKO O TAKOM DOSTATO^NO \KZOTI^ESKOM ZANQTII, KAK MATEMATI^ESKAQ LOGIKA (KOTORU@ PRI VELANII MOVNO S^ITATX RAZDELOM MATEMATIKI, HOTQ S MOEJ LI^NOJ TO^KI ZRENIQ ONA GORAZDO DALX[E OT OSNOWNOGO RUSLA MATEMATI^ESKIH ISSLEDOWANIJ, ^EM, SKAVEM, FIZIKA ILI LINGWISTIKA), NO I O TAKIH OTNOSITELXNO MASSOWYH PROFESSIQH, KAK computer science ILI KRIPTOGRAFIQ. kAK ZAMETIL ODIN SPECIALIST PO PROGRAMMIROWANI@, “the problem with you mathematicians is that you are so imprecise”.

oSOBENNOSTX@ MATEMATIKI QWLQETSQ NE TO^NOSTX KAK TAKOWAQ, A KONTROLIRUEMAQ TO^- NOSTX.

10.pROSTOTA MATEMATIKI. eSTX E]E ODNA NETRIWIALXNAQ PARALLELX MEVDU KALLIGRAFIEJ, BOEWYMI ISKUSSWAMI I MATEMATIKOJ. kAK KALLIGRAFIQ, TAK I ISKUSSTWO ME^A OSNOWANY NA ISPOLXZOWANII 5–6 FUNDAMENTALXNYH PRINCIPOW, PRI^EM SUTX SOSTOIT NE W ZNANII \TIH PRINCIPOW – IH ZNAET KAVDYJ, KTO WZQL 2–3 UROKA, A W UMENII IH PRIMENQTX, T.E. SOBSTWENNO W MASTERSTWE. kONE^NO, ^ISLO FUNDAMENTALXNYH PRINCIPOW W MATEMATIKE BOLX[E, NO ONO SOWSEM NE TAK WELIKO, KAK DUMAET NA^INA@]IJ. ~ISLO DEJSTWITELXNO FUNDAMENTALXNYH PRINCIPOW, NA KOTORYH POSTROENO PODAWLQ@]EE BOLX[INSTWO MATEMATI^ESKIH DOKAZATELXSTW, WRQD LI PREWOSHODIT NESKOLXKO DESQTKOW. nO PROFESSIONAL MOVET PRIMENQTX \TI PROSTYE SOOBRAVENIQ S IZO]RENNOSTX@ (ILI, KAK GOWORIT lITTLWUD, WIRTUOZNOSTX@) NEDOSTUPNOJ DLQ NA^INA@]EGO ILI L@BITELQ I W SOSTOQNII OBRAZOWYWATX IZ NIH SKOLX UGODNO DLINNYE CEPO^KI RASSUVDENIJ.

² pRIMERY I KONSTRUKCII.

pERWYM, ^TO DOLVEN USWOITX NA^INA@]IJ I SAMYM WAVNYM, ^TO kAK ZAME^AET i.r.{AFAREWI^ ‘pRIMERY QWLQ@TSQ DLQ MATEMATIKA ODNOWREMENNO I MOTIWIROWKOJ I SODERVATELXNYM OPREDELENIEM I SMYSLOM PONQTIQ’.

² pROGRESS MATEMATIKI. rAZWITIE MATEMATIKI PROISHODIT PRINICIALXNO INA^E, ^EM PROGRESS ESTESTWENNYH NAUK . w NAUKE PROISHODIT FALXSIFIKACIQ SU]ESTWU@]IH TEORIJ4.

4

6

wMATEMATIKE UTWERVDENIQ PRODOLVA@T OSTAWATXSQ WERNYMI, NO STANOWQTSQ O^EWIDNYMI, A ZATEM I TRIWIALXNYMI.

wMATEMATIKE DO SIH POR WSEGDA UDAWALOSX NAJTI TAKU@ SISTEMU PONQTIJ I SPOSOB RASSUVDENIJ, PRI KOTOROM UTWERVDENIE STANOWITSQ O^EWIDNYM.

wYHODQT IZ MODY ILI STANOWQTSQ ^ASTX@ recreational mathematics.

pREDMET ALGEBRY

pREDSTAWLENIE O PREDMETE ALGEBRY NESKOLXKO RAZ MENQLOSX NA PROTQVENII POSLEDNIH TYSQ^ELETIJ. sAMO SLOWO ‘ALGEBRA’ SRAWNITELXNO POZDNEGO PROISHOVDENIQ – X WEK (??). w SREDNEWEKOWOJ ARABSKOJ MATEMATIKE TAK NAZYWALSQ OPREDELENNYJ TIP ALGEBRAI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ, WOZNIKA@]IH PRI RE[ENII URAWNENIJ. aLX DVABR WA ALX MUKKABALA – ‘WELIKOE ISKUSSTWO ALGEBRY I ALXMUKKABALY’, PRIMERNO ‘NAUKA O SOKRA]ENII PODOBNYH ^LENOW I PERENOSE W PRAWU@ ^ASTX’. iTALXQNSKIE MATEMATIKI XV–XVI WEKOW, W ^ASTNOSTI kARDANO, ISPOLXZOWALI DRUGU@ POLOWINU \TOJ FORMULY Ars Magna – WELIKOE ISKUSSTWO. nO, RAZUMEETSQ, PREDMET ALGEBRY ZNA^ITELXNO STAR[E.

sAMYM DREWNIM RAZDELOM ALGEBRY (I GEOMETRII!) QWLQETSQ TEORIQ GRUPP, WOZRAST KOTOROJ NAS^ITYWAET DESQTKI TYSQ^ LET I KOTORAQ NEOTDELIMA OT SAMOJ ^ELOWE^ESKOJ CIWILIZACII.

RE[ENIE URAWNENIJ GEOMETRI^ESKAQ ALGEBRA

‘aRIFMETIKA’ dIOFANTA – DIOFANTOWY URAWNENIQ

iTALXQNCY (sCIPION DELX fERRO, tARTALXQ, kARDANO, fERRARI, bOMBELLI) wIETA

fERMA, dEKART lEJBNIC |JLER lAGRANV

gAUSS, dIRIHLE, |JZEN[TEJN, kUMMER rUFFINI, aBELX, gALUA

lINEJNAQ ALGEBRA – gRASSMAN, gAMILXTON, k\LI kRONEKER, wEJER[TRASS, dEDEKIND

lI, kLEJN, vORDAN, kILLING, |LI kARTAN fROBENIUS, bERNSAJD,

gILXBERT I EGO [KOLA – nETER, gERMAN wEJLX, aRTIN, {RAJER, WAN DER wARDEN, ...

aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ – ITALXQNCY, zARISSKIJ, ...

bURBAKI – aNDRE wEJLX, aNRI kARTAN, dXEDONNE, gROTENDIK, sERR

mESTO ALGEBRY W MATEMATIKE

w IDEJNOM PLANE mATEMATIKA SOSTOIT IZ TREH OSNOWNYH SOSTAWNYH ^ASTEJ: aLGEBRY, tOPOLOGII I aNALIZA. |TI ^ASTI SU]ESTWU@T OTDELXNO NE W FAKTI^ESKOM PLANE, A TOLXKO KAK PSIHOLOGI^ESKIE USTANOWKI. pOLX hALMO[ POQSNQET IH RAZLI^IE SLEDU@]IM OBRAZOM. mATEMATIKA RABOTAET SO SLOWAMI,

BESPOLEZNOJ, QWLQETSQ UPRO]ENIEM. mY ZNAEM, ^TO KLASSI^ESKAQ MEHANIKA NEWERNA. zNA^IT

7

KARTINKAMI I ^ISLAMI. tE MATEMATIKI, KOTORYE BOLX[E L@BQT SLOWA, NAZYWA@TSQ ALGEBRAISTAMI, TE, KOTORYE BOLX[E L@BQT KARTINKI – TOPOLOGAMI (alias GEOMETRAMI) I, NAKONEC, TE, KOTORYE BOLX[E L@BQT ^ISLA – ANALITIKAMI (alias ANALISTAMI). l@BAQ KONKRETNAQ MATEMATI^ESKAQ DISCIPLINA QWLQETSQ KOMBINACIEJ \TIH TREH OSNOWNYH NAPRAWLENIJ, W RAZNYH PROPORCIQH.

nAPRIMER, gEOMETRIQ SOSTOIT RAWNYH DOLEJ aLGEBRY I tOPOLOGII (S NEKOTOROJ PRIMESX@ aNALIZA W TAKIH OBLASTQH, KAK DIFFERENCIALXNAQ gEOMETRIQ). dISCIPLINY ANALITI^ESKOGO CIKLA, TAKIE KAK TEORIQ OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, TEORIQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH5, TEORIQ WEROQTNOSTEJ.

sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO UPOTREBLENIE TERMINOW aLGEBRA I gEOMETRIQ PROFESSIONALXNYMI MATEMATIKAMI ZNA^ITELXNO OTLI^AETSQ OT TOGO SMYSLA, KOTORYJ WKLADYWAETSQ W \TI SLOWA W [KOLXNOM KURSE. w ^ASTNOSTI, PRAKTI- ^ESKI WSE, ^TO NAZYWAETSQ gEOMETRIEJ W [KOLE, S SOWREMENNOJ TO^KI ZRENIQ QWLQETSQ aLGEBROJ. w TO VE WREMQ BOLX[AQ ^ASTX TOGO, ^TO W [KOLE NAZYWAETSQ aLGEBROJ, W DEJSTWITELXNOSTI PO DUHU GORAZDO BLIVE K aNALIZU.

wLIQNIE ALGEBRY NA MATEMATIKU

aLGEBRAI^ESKAQ TOPOLOGIQ kOMPLEKSNYJ ANALIZ fUNKCIONALXNYJ ANALIZ gARMONI^ESKIJ ANALIZ tEORIQ pIKARA-wESSIO

wLIQNIE MATEMATIKI NA ALGEBRU

aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ tEORIQ ALGEBRAI^ESKIH GRUPP tEORIQ GRUPP lI tOPOLOGI^ESKAQ aLGEBRA gOMOLOGI^ESKAQ aLGEBRA gOMOTOPI^ESKAQ aLGEBRA

aLGEBRA I WY^ISLENIQ

tEORIQ KODIROWANIQ kRIPTOGRAFIQ aLGORITMI^ESKIE WOPROSY tEORIQ SLOVNOSTI WY^ISLENIJ

aLGEBRA I ESTESTWENNYE NAUKI

kRISTALLOGRAFIQ

fIZIKA ^ASTIC, FIZIKA QDRA, FIZIKA ATOMA, FIZIKA MOLEKUL

5tO, ^TO RANX[E NAZYWALOSX ‘MATEMATI^ESKOJ FIZIKOJ’. sEGODNQ W WYRAVENIE MATEMATI- ^ESKAQ FIZIKA OBY^NO WKLADYWAETSQ ZNA^ITELXNO BOLEE [IROKIJ SMYSL: RAZDELY MATEMATIKI, IME@]IE NEPOSREDSTWENNYE PRILOVENIQ K FIZIKE. pRI \TOM PONIMANII MATEMATI^ESKAQ FIZIKA WKL@^AET ZNA^ITELXNYE ^ASTI FUNKCIONALXNOGO I GARMONI^ESKOGO ANALIZA, TEORI@ GRUPP lI I IH PREDSTAWLENIJ, DIFFERENCIALXNU@ GEOMETRI@, TEORI@ DINAMI^ESKIH SISTEM

8

kWANTOWAQ HIMIQ sTRUKTURNAQ HIMIQ

sPECIFIKA ALGEBRY

Algebra is not only a part of Mathematics; it also plays within Mathematics the role which Mathematics itself played for a long time with respect to Physics.

Claude Chevalley6

pO OB]EMU O]U]ENI@ aLGEBRA I tOPOLOGIQ QWLQ@TSQ GORAZDO BOLEE FUNDAMENTALXNYMI I BOLEE ABSTRAKTNYMI NAPRAWLENIQMI, ^EM OSTALXNYE RAZDELY mATEMATIKI.

wOPREKI RASPROSTRANENNOMU ZABLUVDENI@ NA^INA@]IH IZU^ATX BOLEE BOGATU@ STRUKTURU ZNA^ITELXNO PRO]E, ^EM BOLEE BEDNU@. rASSMOTRIM, NAPRIMER, POLE KOMPLEKSNYH ^ISEL. oNO NESET NA SEBE ALGEBRAI^ESKU@ STRUKTURU (OPREDELQEMU@ SLOVENIEM I UMNOVENIEM KOMPLEKSNYH ^ISEL) I OBY^NU@ (KOMPLEKSNU@) TOPOLOGI@. eSLI ZABYTX O TOPOLOGII, I RASSMATRIWATX C KAK ^ISTO ALGEBRAI^ESKU@ STRUKTURU, TO U C IMEETSQ BOLEE, ^EM KONTINUUM AWTOMORFIZMOW. s DRUGOJ STORONY, ESLI ZABYTX OB ALGEBRE I RASSMATRIWATX C KAK TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, TO U C IMEETSQ KONTINUUM AWTOMORFIZMOW (IN_EKTINWYH GOMEOMORFIZMOW NA SEBQ). eSLI VE RASSMATRIWATX C KAK \TO PRINQTO W ANALIZE ODNOWREMENNO KAK POLE I TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, TO U C ROWNO DWA AWTOMORFIZMA – TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE I KOMPLEKSNOE SOPRQVENIE.

IZOMORFIZM – PRIRODA OB_EKTOW NE IMEET ZNA^ENIQ

–ODNAKO, WESX SMYSL TEORII PREDSTAWLENIJ SOSTOIT W TOM, ^TO WY^ISLENIQ W RAZLI^NYH REALIZACIQH ODNOGO I TOGO VE OB_EKTA SOWER[ENNO NE\KWIWALENTNY.

TOVDESTWA – PRIRODA ALGEBRAI^ESKIH OPERACIJ I OB_EKTOW, NAD KOTORYMI MY IH PROWODIM, NE IMEET ZNA^ENIQ, OSNOWNOE – KAKIM TOVDESTWAM \TI OPERACII UDOWLETWORQ@T

–OBOB]ENIQ: WIRTUALXNYJ IZOMORFIZM, IZOTOPIQ, GOMOTOPIQ

uSTANOWKI

Here are my principles. If you don’t like them, I have others.

Groucho Marx

dLQ BOLEE KWALIFICIROWANNOGO ^ITATELQ OTMETIM NESKOLXKO RUKOWODQ]IH IDEOLOGEM, OB_QSNQ@]IH PRINCIPY NASTOQ]EGO KURSA.

²sMYSL KLASSI^ESKOJ MATEMATIKI. wSE KLASSI^ESKIE OB_EKTY I KONSTRUKCII, RASMATRIWAW[IESQ W MATEMATIKE – PRAWILXNYE MNOGOGRANNIKI, ^ISLA fIBONA^^I, \KSPONENTA I LOGARIFM, TRIGONOMETRI^ESKIE I GIPERBOLI^ESKIE FUNKCII, MNOGO^LENY ~EBY[EWA, FUNKCII bESSELQ, PREOBRAZOWANIQ fURXE I lAPLASA, ... – IME@T INWARIANTNYJ ALGEBRAI^ESKIJ SMYSL. oDNOJ IZ GLAWNYH ZADA^ WWODNOGO KURSA ALGEBRY QWLQETSQ RASKRYTIE \TOGO SMYSLA. s DRUGOJ STORONY, SU]NOSTX ALGEBRAI^ESKIH PONQTIJ GORAZDO LU^[E PROQSNQETSQ \TIMI KLASSI^ESKIMI PRIMERAMI, ^EM ISKUSSTWENNO PRIDUMANNYMI.

²fORMULY SLOVENIQ I OBRA]ENIQ. bUKWALXNYJ ALGEBRAI^ESKIJ SMYSL. kAK TOLXKO MY WIDIM ^TO-TO W TAKOM DUHE, NUVNO QWNO OPREDELITX ALGEBRAI^ESKU@ OPERACI@ I SKAZATX, ^TO MY IMEEM GOMOMORFIZM ILI ANTIGOMOMORFIZM. sWERTKA dIRIHLE, FORMULA mEBIUSA.

6

9

²bINARNYE OPERACII. mY RASSMATRIWAEM GLAWNYM OBRAZOM WS@DU OPREDELENNYE (WNUTRENNIE) BINARNYE OPERACII. rASSMOTRENIE ^ASTI^NYH OPERACIJ, KAK I OPERACIJ BOLEE WYSOKOJ ARNOSTI, SWQZANO S GROMOZDKIMI OBOZNA^ENIQMI I MASSOJ OGOWOROK. w TO VE WREMQ OB]NOSTX, KOTORAQ PRI \TOM POLU^AETSQ, W BOLX[INSTWE SLU^AEW ^ISTO ILL@ZORNA.

²oT BESKONE^NOGO K KONE^NOMU. rAZWITIE MATEMATIKI ESTX DWIVENIE OT BESKONE^NOGO K KONE^NOMU. mY ISPOLXZUEM BESKONE^NYE METODY DLQ POLU^ENIQ KONE^NYH OTWETOW. wOPROSY, OTNOSQ]IESQ K BESKONE^NOSTI, KAK PRAWILO, ZNA^ITELXNO PRO]E, ^EM WOPROSY, OT-

NOSQ]IESQ K BOLX[IM KONE^NYM MNOVESTWAM: the infinite we’ll do rightaway, the finite may take a little bit longer.

²kLASSIFIKACIQ. kANONI^ESKIE FORMY. wYBOR EDINSTWENNOGO PREDSTAWITELQ W ORBITE. dISKRETNYE I NEPRERYWNYE INWARIANTY.

tEMY XIX WEKA:

²aNALOGIQ MEVDU ^ISLAMI I FUNKCIQMI: ARIFMETIKA = GEOMETRIQ. w NASTOQ]EM KURSE \TA ANALOGIQ WYRAVAETSQ KAK ANALOGIQ MEVDU ALGEBRAI^ESKIMI ^ISLAMI I ALGEBRAI-

^ESKIMI FUNKCIQMI, W PERWU@ O^EREDX MEVDU CELYMI ALGEBRAI^ESKIMI ^ISLAMI I CELYMI ALGEBRAI^ESKIMI FUNKCIQMI, MEVDU Z I K[x].

²aNALOGIQ MEVDU MNOGO^LENAMI I MATRICAMI. uMNOVENIE MATRIC, KAK I UMNOVENIE MNOGO^LENOW ILI FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW QWLQETSQ PRIMEROM SWERTKI. w NA[EM KURSE

\TA ANALOGIQ WOZNIKAET W PERWU@ O^EREDX KAK ANALOGIQ MEVDU K[x] I M(n; K). wMESTO TOGO, ^TOBY OTDELXNO DOKAZYWATX ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ MATRIC I MNOGO^LENOW, MY DOKAZYWAEM EE ODIN RAZ – DLQ SWERTKI W MONOIDNOJ ALGEBRE.

²aNALOGIQ MEVDU ^ISLAMI I MATRICAMI.

²uNIWERSALXNOE RE[ENIE I SPECIALIZACIQ.

²aBSOL@TNOE I OTNOSITELXNOE. l@BAQ ZADA^A O POLQH RAZBIWAETSQ NA GEOMETRI^ESKU@

(ABSOL@TNU@) I ARIFMETI^ESKU@ (OTNOSITELXNU@) ^ASTX: ALGEBRAI^ESKI ZAMKNUTOE POLE I SPUSK gALUA. w KURSE: RE[AQ L@BOJ WOPROS NAD R WNA^ALE PRAWILXNO RE[ITX EGO NAD C, TO

VE SAMOE NAD Fq I Fq. tEMY XX WEKA:

²uNIWERSALXNYE OPREDELENIQ. wSE UNIKALXNYE OB_EKTY (WE]ESTWENNYE I KOMPLEKSNYE ^ISLA, SWOBODNYE MODULI, ALGEBRY MATRIC, MNOGO^LENOW, FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW, WNE[NQQ ALGEBRA, SWOBODNYE MONOIDY I GRUPPY, ...) MOGUT OPREDELENY KAK UNIWERSALXNYE OB_EKTY W NEKOTOROJ KATEGORII. pO WOZMOVNOSTI ONI I DOLVNY BYTX TAK OPREDELENY, NEZAWISIMO OT KONSTRUKCII.

²dWOJSTWENNOSTX. fUNKCIQ TAK VE SOOTNOSITSQ S ARGUMENTOM, KAK ARGUMENT S FUNKCIEJ. rE[ENIQ SISTEMY URAWNENIJ TAK VE SOOTNOSQTSQ S URAWNENIQMI, KAK URAWNENIQ S RE[ENIQMI.

²

²

²

²

dOKAZATELXSTWA

Every proof is a one-line proof, if you start su ciently far to the left.

Cambridge Mathematical Quotes

It is to accept that a theory can be used, and its applications understood, without a complete mastery of the detailed structure of the proof on which it rests. This is not to say that such mastery is of little value or that it need never be attempted, but that there is nothing sacrosanct about any traditional order and sequence in the work of learning and using a theory.

H.R.Pitt7

7

10

tRADICIONNO S^ITAETSQ, ^TO WSE WYSKAZYWAEMYE W \LEMENTARNOM U^EBNIKE UTWERVDENIQ DOLVNY SOPROWOVDATXSQ POLNYMI DOKAZATELXSTWAMI. |TA NORMA PREDSTAWLQETSQ MNE BEZNA-

DEVNO USTAREW[EJ, NEREALISTI^NOJ I LICEMERNOJ. w DEJSTWITELXNOSTI, W BOLX[IN-

STWE SLU^AEW NALI^IE ILI OTSUTSTWIE DOKAZATELXSTWA NE WLIQET NA UWERENNOSTX STUDENTOW W SPRAWEDLIWOSTI REZULXTATA. s MOEJ TO^KI ZRENIQ, ROLX DOKAZATELXSTW W U^EBNOJ LITERATURE SOSTOIT W SLEDU@]EM:

²uBEDITX STUDENTA W TOM, ^TO ON PRAWILXNO PONIMAET FORMULIROWKU.

²pROQSNITX SMYSL DOKAZYWAEMOGO UTWERVDENIQ I EGO SWQZI S DRUGIMI UTWERVDENIQMI.

²oTRABOTATX OB]IE METODY PROWEDENIQ MATEMATI^ESKIH RASSUVDENIJ (INDUKCIQ, REDUKCIQ, OB]EE POLOVENIE, SPECIALIZACIQ,...) I STANDARTNYE PRIEMY W IZU^AEMOJ OBLASTI.

²wYRABOTATX PRIWY^KU K TO^NYM RASSUVDENIQM WOOB]E I, W PERWU@ O^EREDX, WKUS K POSTROENI@ SKOLX UGODNO DLINNYH CEPO^EK IMPLIKACIJ.

²wOSPITATX UMENIE OTLI^ATX PREDPOLOVENIQ OT DOKAZATELXSTW I PRAWDOPODOBNYE DOGADKI OT TWERDO DOKAZANNYH UTWERVDENIJ.

²kAK PRINQTO GOWORITX W k\MBRIDVE8, to illustrate some of the tedium, T.E. SOZDATX PRAWILXNOE ^UWSTWO PERSPEKTIWY I WYRABOTATX O]U]ENIE TOGO, KAKIE UTWERVDENIQ MOVNO DOKAZATX ZA NESKOLXKO MINUT, A KAKIE MOGUT POTREBOWATX NESKOLXKIH NEDELX.

qSNO, ^TO WSEM \TIM CELQM (KROME, BYTX MOVET, POSLEDNEJ) MOGUT SLUVITX TOLXKO KOROTKIE I QSNO ORGANIZOWANNYE DOKAZATELXSTWA, WSKRYWA@]IE SUTX DELA. bOLX[INSTWO DLINNYH PLOHO STRUKTURIROWANNYH ILI ^ISTO KALXKULQTIWNYH DOKAZATELXSTW NE TOLXKO NE SPOSOBSTWU@T \TIM CELQM, NO DEZORIENTIRU@T STUDENTA I LI[X ZATEMNQ@T SMYSL DOKAZYWAEMYH UTWERVDENIJ. nAPRIMER, S MOEJ TO^KI ZRENIQ, POLNYJ ABSURD I PRQMOE WRE- DITELXSTWO PRIWODITX W PERWOM SEMESTRE ^ISTO WY^ISLITELXNOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY lAPLASA O RAZLOVENII OPREDELITELQ NA TREH STRANICAH, W TO WREMQ KAK ISPOLXZUQ WNE[N@@ ALGEBRU \TU TEOREMU MOVNO BUDET DOKAZATX W NESKOLXKO STROK. pO\TOMU W NASTOQ]EM KURSE Q PRIDERVIWA@SX SLEDU@]EJ POLITIKI W OTNO[ENII DOKAZATELXSTW.

²eSTX NESKOLXKO DESQTKOW KL@^EWYH KLASSI^ESKIH TEOREM, BEZ KOTORYH NEWOZMOVNO PONIMANIE DUHA I STILQ ALGEBRY I/ILI KOTORYE ^REZWY^AJNO WAVNY DLQ EE PRILOVENIJ (TEOREMA aRTINA-wEDDERBARNA, OSNOWNAQ TEOREMA TEORII gALUA, TEOREMA gILXBERTA O NULQH, TEOREMA tOMPSONA-fEJTA, TEOREMA oRE O KOLXCAH ^ASTNYH, LEMMA nETERA O NORMALIZACII I T.D.) q PRIDERVIWA@SX MNENIQ, ^TO \TI REZULXTATY DOLVNY BYTX SFORMULIROWANY W L@BOM \LEMENTARNOM U^EBNIKE ALGEBRY, NEZAWISIMO OT TOGO, DOKAZYWA@TSQ ONI TAM, ILI NET.

²q STO@ NA TO^KE ZRENIQ bURBAKI, ^TO NE BYWAET TRUDNYH TEOREM, A BYWA@T TEOREMY, KOTORYE MY PLOHO PONIMAEM. wELI^IE MATEMATIKI I ZALOG EE PROGRESSA SOSTOQT W TOM, ^TO DLQ BOLX[INSTWA DEJSTWITELXNO INTERESNYH UTWERVDENIJ UDAETSQ NAJTI TAKU@ SISTEMU PONQTIJ I TAKOJ SPOSOB RASSUVDENIJ, PRI KOTOROM ONI STANOWQTSQ O^EWIDNYMI.

²dLQ MNOGIH KL@^EWYH TEOREM, KOTORYE TRADICIONNO S^ITA@TSQ SLI[KOM TRUDNYMI DLQ WKL@^ENIQ W \LEMENTARNYE KURSY (KWADRATI^NYJ ZAKON WZAIMNOSTI, TEOREMA rUFFINI-aBE- LQ, TEOREMA fROBENIUSA, ...), W DEJSTWITELXNOSTI IME@TSQ DOKAZATELXSTWA, ZANIMA@]IE OT 5 STRO^EK (DLQ KWADRATI^NOGO ZAKONA WZAIMNOSTI) DO ODNOJ STRANICY TEKSTA. w TEH SLU^AQH, KOGDA TAKIE DOKAZATELXSTWA MNE IZWESTNY, Q IH WOSPROIZWOVU.

²w TEH SLU^AQH, KOGDA MNE NE IZWESTNO DOKAZATELXSTWO, DOSTUPNOE PONIMANI@ NA^INA@]IH, Q, TEM NE MENEE, FORMULIRU@ REZULXTAT I SOPROWOVDA@ EGO INTUITIWNYMI SOOBRAVENIQMI W POLXZU EGO SPRAWEDLIWOSTI, PRIMERAMI I PRILOVENIQMI. wPRO^EM, ^ASTO TO, ^TO Q NAZYWA@ ‘INTUITIWNYMI SOOBRAVENIQMI’, W DRUGIH TEKSTAH BYLO BY NAZWANO ‘DOKAZATELXSTWAMI’ (TEOREMA D‘aLAMBERA).

kOMPX@TERY

pO^TI WSE DEJSTWU@]IE SEGODNQ U^EBNIKI ALGEBRY NAPISANY W DOKOMPX@- TERNU@ \POHU I NE U^ITYWA@T PROIZO[ED[EGO ZA POSLEDNIE 10–15 LET KORENNOGO IZMENENIQ ROLI KOMPX@TEROW. pOQWLENIE W 1940-E I 1950-E GODY BOLX[IH

8