3.2. Экономико-математическая модель задачи
в общем виде
Приведем сначала модель задачи оптимизации в общем виде [3]. Она является обобщением известной в теории управления запасами модели Вагнера-Уайтина [4,5].
Пусть некоторое промышленное предприятие производит K видов готовой продукции. Для ее производства требуется R видов материальных ресурсов. Предполагается, что задана матрица технологических коэффициентов , r=1,2,…,R, k=1,2,…,K, где – количество ресурса r-го вида, необходимого для производства единицы готовой продукции k-го вида.
Предприятие закупает все виды материальных ресурсов у R поставщиков (или у снабженческой фирмы). Готовая продукция должна быть доставлена в N пунктов назначения. Горизонт планирования равен T (время измеряется в дискретных единицах, т.е. в сутках, месяцах, кварталах).
Общий размер спроса на готовую продукцию k-го вида в n-м пункте назначения за период T известен и равен . С учетом заданного спроса завод закупает материальные ресурсы и производит продукцию.
Примем следующие предположения:
рынок материальных ресурсов неограничен;
все заказы на поставку материалов и получение готовой продукции осуществляются в начале каждого периода (внутри планового периода T). Запасы материалов используются в конце каждого периода;
время выполнения заказа на поставку очередной партии материалов равно нулю, т.е. заказанная партия поступает сразу после размещения заказа;
производственное оборудование является абсолютно надежным;
производительность технологических линий на предприятии ограничена только вместимостью складов для хранения материалов и готовой продукции.
Для построения экономико-математической модели введем следующие обозначения:
– количество материала r-го вида, заказанного и полученного в периоде t, t=1,2,…,T;
– количество готовой продукции, которую предприятие планирует выпускать в конце периода t, t=1,2,…,T;
– количество готовой продукции k-го вида, которое планируется доставить в n-й пункт назначения в конце периода t, t=1,2,…,T;
– стоимость закупки и доставки единицы материала r-го вида в периоде t, t=1,2,…,T;
– себестоимость выпуска единицы готовой продукции k-го вида в периоде t, t=1,2,…,T;
– себестоимость перевозки единицы готовой продукции k-го вида из завода в n-й пункт назначения в периоде t, t=1,2,…,T;
( ) – стоимость суточного хранения единицы материала r-го вида (готовой продукции k-го вида) в периоде t, t=1,2,…,T;
( ) – вместимость склада для хранения материалов (готовой продукции);
( ) – начальный запас материала r-го вида (готовой продукции k-го вида) на складе.
Считается, что
, ;
( ) – уровень запаса r-го вида материала (k -го вида готовой продукции) на складе в конце периода t, t=1,2,…,T.
Указанные уровни запасов выражаются через введенные выше параметры управления следующим образом:
, |
(2) |
. |
(3) |
Поскольку
, ,
то с учетом (2), (3) отсюда получаем
, |
(4) |
, |
(5) |
С другой стороны, в периоде t не может быть потреблено материалов r-го вида и вывезено готовой продукции k -го вида в количествах, больших, чем уровни запасов и соответственно, т.е.
, t=1,2,…,T. |
|
Поэтому с учетом (2), (3) имеем
, t=1,2,…,T. |
(6) |
(7) |
Наконец, в n-й пункт назначения готовая продукция k -го вида должна быть доставлена в количестве на горизонте планирования, т.е.
. |
(8) |
Выражение для полных затрат по всей интегрированной логистической цепи доставки имеет следующий вид:
|
(9) |
(мы здесь не учитываем затраты на размещение заказа на поставку материалов).
Оптимизационная задача формулируется следующим образом:
найти неотрицательные значения переменных , , , удовлетворяющие ограничениям (4)-(8) и обеспечивающие минимальное значение функции (9).
Для того, чтобы сформулированная задача линейного программирования была допустимой, необходимо выполнение следующих условий:
|
|
С другой стороны, для избежания тривиальных ситуаций необходимо предположить, чтобы
. |
|