Деякі властивості добутку матриць

1. Добуток матриць не комутативний AB BA. Якщо АВ=ВА матриці А і В називаються комутативними;

2. Добуток діагональних матриць є діагональною матрицею;

3. Добуток одиничної матриці Е на матрицю А дорівнює матриці А: ЕА=А;

4. Добуток квадратних матриць асоціативний, тобто (АВ)С = =А(ВС).

5. Піднесення до степеня. Цілим додатним степенем А^m називається добуток m матриць, що дорівнюють А:

A^m =

6. Транспонування матриці – перехід від матриці A_m*n до матриці A^T_n*m, в якій рядки й стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку, наприклад, якщо

Властивості транспонування матриці

1. (А+В)^Т = А^Т+В^Т;

2. (𝝀А)^Т = 𝝀А^Т;

3. (АВ)^Т = ВТА^Т;

4. (А^Т)^Т = А.

Приклад 1.2. Нехай підприємство випускає вироби n видів: P₁,P₂,…..,P_n і при цьому використовує m видів сировини: S₁,S₂,…,S_m. Позначимо b_i (i= 1,2,…,m) – запас сировини S_i; d_i (i=1,2,…,m) – вартість одиниці сировини S_i; x_j (j=1,2,…,n) – кількість одиниць продукції P_j, яка запланована до виробництва; a_ij - кількість одиниць сировини S_i, яка потрібна для виготовлення одиниці продукції P_j; C_j – прибуток від реалізації одиниці продукції P_j.

Вид сировини	Кількість сировини, що затрачається на виробництво одиниці продукції Pj				Запаси сировини
	P1	P2	…	Pn
S1	a11	a12	…	a1n		b1
S2	a21	a22	…	a2n		b2
…	…	…	…	…		…
Sm	am1	am2	…	amn		bm
Прибуток від реалізації одиниці продукції Pj	C1	C2	…	Cn

Введемо матриці:

.

Якщо задано план виробництва (матриця Х), то кількість сировини, що затрачається на виробництво усіх видів продукції, обчисляється за формулою: В = А*Х. Загальна вартість сировини: V = D^T*B. Сумарний прибуток від реалізації продукції:

F =

3.Матричне числення в економіці

Для розв'язку багатьох економічних задач використовуються елементи алгебри матриць. Особливо при розробці і використанні баз даних. При роботі з ними, майже вся інформація зберігається і обробляється в матричній формі.

Приклад. Підприємство виготовляє чотири види виробів з використанням чотирьох видів сировини. Норма споживання сировини задана матрицею.

Вид сировини

1 2 3 4

вид виробу.

Потрібно знайти затрати сировини кожного виду при заданому плані випуску виробів відповідно 60, 50, 35, 40 од.

Розв'язання. Вектор-план випуску продукції відомий (60, 50, 35, 40). Враховуючи норми споживання кожного виду сировини на одиницю кожного виробу, вектор затрат є добуток матриць (матриця - рядок ) та матриці А.

Використання систем лінійних рівнянь

Задача. Підприємство випускає три види продукції, використовуючи при цьому три види сировини. Характеристики виробництва задані таблицею:

Вид сировини	Витрати сировини за видами, на од. прод.				Запаси сировини
	1	2	3
1 2 3	6 4 5	4 3 2	5 1 3	2400 1450 1550

Визначити план випуску продукції кожного виду, використавши всі запаси. Задачі такого типу виникають при прогнозах і оцінках функціонування підприємств, планування мікроекономіки підприємств.

Розв'язання. Нехай x₁ х₂, х₃ - невідомі, поки що, об'єми випуску продукції. При умові повного використання запасів, можна забезпечити балансові співвідношення, які задовольняють систему рівнянь

Розв'язуючи систему довільним способом, отримаємо значення невідомих: х₁ =150, х₂=250, х₃ =100.

Загальна постановка задачі прогнозу випуску продукції. Нехай - матриця затрат сировини т видів на випуск одиниці продукції п видів. Нехай x(x₁, x₂, x₃) - вектор - план випуску продукції. Тоді цей вектор знаходиться із системи рівнянь Сх^т = b^т, де b — вектор запасів сировини кожного виду; т – індекс транспонування.