2.5. Компланарность векторов

Постановка задачи. Компланарны ли векторы = {a1,a2,a3}, = {b1,b2,b3} и = {c1,c2, c3}?

План решения. Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение ( , , ) было равно нулю.

1. Смешанное произведение векторов выражается через их координаты формулой

( , , ) =

2.Если определитель в первой части этого равенства равен нулю, то векторы в комполанарны, если определитель не равен нулю, то векторы некомпланарны.

Пример. Компларны ли векторы = {7,4,6}, = {2,1,1} и = {19,11,17}?

Решение.

1. Вычисляем смешанное произведение векторов:

2. Так как =0, векторы и компланарны.

Ответ. Векторы и компланарны.

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Компланарны ли векторы и ?

1. = {1,3,0}, = {-1,0,-1}, = {1,2,1}.

2. = {3,2,1}, = {5,5,5}, = {0,-1,-2}.

3. = {0,6,1}, = {0,2,0}, = {1,1,1}.

4, = {4,1,-2}, = {3,2,1}, = {5,5,5}.

5, = {2,5,0}, = {2,-1,2}, = {1,1,1}.

6. = {1,0,-1}, = {-2,-1,0}, = {3,1,-1}.

7. = {4,3,1}, = {5,1,2}, = {2,1,-1}.

8. = {-2,4,3}, = {4,7,5}, = {2,0,-1}.

9. = {2,5,8}, = {1,-3,-7}, = {0,5,10}.

10. = {1,5,1}, = {1,7,1}, = {2,2,1}.

Ответы. 1. Нет. 2. Да. 3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет. 8. Да. 9. Да. 10. Нет.

1.6. Объём и высота тетраэдра

Постановка задачи. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках , , , и его высоту, опущенную из вершины на грань .

План решения.

1. Из вершины проведём векторы и

В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем

(1)

где и - объёмы тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах и .

С другой стороны,

(2)

Где, согласно геометрическому смыслу векторного произведения,

Сравнивая формулы (1) и (2), получаем

(3)

2. Вычисляем смешанное произведение

и находим объём тетраэдра по формуле (1).

3. Вычисляем координаты векторного произведения

и его модуль.

4. Находим высоту h по формуле (3).

Пример. Вычислить объём тетраэдра с вершинами , , и и его высоту, опущенную из вершины на грань .

Решение.

1. Из вершины проведём векторы , и .

2. Вычисляем смешанное произведение:

+ + =308

и находим объём тетраэдра по формуле (1) ед. длины

3. Вычисляем координаты векторного произведения:

.

4. Находим высоту по формуле (3):

Ответ.

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Ответы.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .