Неоднозначность факторного решения

Пусть T m m

- некоторая матрица ортогонального преобразования, то есть T 1T TT T E

Иначе, такая матрица называется матрицей вращения. Тогда

F FT

является новой системой факторов, повернутой относительно старой системы F на некоторый угол с неизменным

масштабом.

Рассмотрим вычисленные признаки Y FAT

A

Тогда в новой системе координат им будет соответствовать новая матрица факторных нагрузок

и тогда Y F A T

F A T получим

FAT

FTA T

откуда AT

TA T

или A AT

Из условия FAT

1

Как известно, ковариационная матрица вычисленных признаков есть

Y

T

Y AA

T

N

1

T

Y A A

T

T

Y

AT AT

ATT A

AA

Тогда в новом базисе мы должны получить то же самое

N

, где

- редуцированная корреляционная матрица.

Следовательно,

A A T AAT

R

R

Таким образом, матрица факторных нагрузок может быть определена только с точностью до ортогонального преобразования. Геометрически это означает, что существует множество систем координат общих факторов. В связи с этим, в факторном анализе дополнительно возникает так называемая проблема вращения факторов. Поиск решения данной проблемы также представляет собой самостоятельную задачу, как, например, задача определения характерностей.