Теория вероятностей

Вариант №16

1. Докажите, что P(AB) = 2P(A+B)–P(A)–P(B), где AB = (A–B)+(B–A).

2. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.

3. Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности выхода из строя элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,3, 0,2, 0,1 и 0,2. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы работают независимо друг от друга.

5. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 10 ч., причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 20 мин, а второго – 30 мин.

6. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок земли будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,8 (если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться). Если экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,4. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, раной 0,75, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяце будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?

7. Имеются две урны: в первой находится 4 красных и 3 синих шара, во второй – 5 красных и 2 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают два шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.

8. За один цикл автомат изготавливает 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01?

9. Предполагается, что 15% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Чему равна вероятность того, что из 14 малых предприятий: а) не более двух в течение года прекратят свою деятельность? б) Чему равна ожидаемое число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года? в) Чему равно наивероятнейшее число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года?

10. Монету бросают 300 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 150 раз; б) больше 135, но меньше 145 раз.

11. В страховой кампании 15 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 900 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,0065, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 70 тыс. руб. Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет не более полови всех средств, поступивших от клиентов?

12. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Случайная величина – число испытанных приборов. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 2 до 4 грузовых судов (включая оба значения). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?

5. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.

6. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Найти параметр k, функцию распределения F(x), , коэффициент вариации [10–3X], вероятность P(1/4<X<1).

5. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией равной 500 г². Известно, что 8% коробок имеют массу, меньшую 450 г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?

6. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Сколько ему нужно сделать бросков, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 4?

7. Случайная величина X – число электронов, вылетающих с нагретого катода электронной лампы в течение времени t, – подчиняется распределению Пуассона с параметром  ( – среднее число электронов, испускаемых в единицу времени). Определить вероятность того, что за время t₀ число испускаемых электронов будет меньше 5.

8. Время t безотказной работы прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону параметром =0,009 ч^–1. Найти вероятность того, что прибор проработает более 200 ч.

9. Найти распределение случайной величины Y, если , где случайная величина X имеет распределение Лапласа La(a).

10. Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:

X Y	–1	0	1
–1	1/3	1/6	1/6
2	0	1/6	1/6

Найти: а) одномерное распределение случайных величин X и Y; б) совместное распределение случайного вектора (X+2Y, XY); в) одномерное распределение случайных величин X+2Y и XY; г) коэффициент корреляции (X,Y).

5. Пусть X – случайная величина с характеристической функцией (u). Найти характеристическую функцию случайной величины .

Типовой расчет