Раздел . Интегральное исчисление

1. Неопределённый интеграл Первообразная

Основной задачей дифференциального исчисления является дифференцирование. Задачи естествознания и техники приводят к решению обратной задачи по восстановлению функций по заданным eё производной или дифференциалу. Эта операция, обратная операции дифференцирования, называется интегрированием.

Мы рассматривали такую задачу: дана функция ; требуется найти её производную, т.е. функцию = .

Теперь мы будем рассматривать обратную задачу: дана функция ; требуется найти такую функцию , производная которой равна , т. е.

Определение 1. Функция называется первообразной от функции на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство

Неопределённый интеграл и его свойства

Определение 2 . Если функция является первообразной для то выражение называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом Таким образом, по определению,

если

При этом функцию называют подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, знак знаком интеграла..

Таким образом, неопределённый интеграл представляет собой семейство функций

Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции существуют первообразные (а значит, и неопределённый интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Заметим, однако, без доказательства, что если функция непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопределённый интеграл).

Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции .

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F'(x) = f(x), то и

.

Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

Таблица интегралов

Прежде чем приступить к изложению методом интегрирования, приведём таблицу интегралов от простейших функций.

Непосредственно из определения 2 и таблицы производных вытекает таблица интегралов. (Справедливость написанных в ней равенства легко проверить дифференцированием, т. е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции.)

1. 

2. 

3. 

4. (Здесь и в последующих формулах под С понимается произвольная постоянная.)

5. 

6. .

7. 

8. 

9. 

10. 

11. .

12. 

13. 

14. 

15. 

16.

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование (метод разложения).

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подинтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Если подынтегральную функцию можно разложить на функции, интегралы от которых явля­ются табличными, тогда легко найти первообразные от каждого интеграла

Пример 1. Найти .

Пример 2. Найти .