- •3.4. Плоское движение твердого тела.
- •3.4.1. Уравнения плоскопараллельного движения
- •3.4.2. Разложение ппд на поступательное и вращательное движения
- •3.4.3. Независимость угловой скорости фигуры от выбора полюса
- •3.4.4. Определение траектории точек тела
- •3.4.5. Определение скоростей точек тела
- •3.4.6. План скоростей и его свойства
- •3.4.7. Мгновенный центр скоростей
- •Вопросы для повторения
- •3.4.8. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры и ее следствия
- •3.4.9. Мгновенный центр ускорений
- •3.4.10. План ускорений и его свойства
- •Вопросы для повторения
- •3.5.* Сферическое движение твердого тела
- •3.6.* Общий случай движения свободного твердого тела
- •3.7. Сложное движение точки
- •3.7.1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки
- •3.7.2. Теорема о сложении скоростей
- •3.7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •3.7.4. Ускорение Кориолиса
- •Вопросы для повторения
3.7.2. Теорема о сложении скоростей
Пусть тело А совершает свободное движение. Тогда переносное движение является сложным, представляю-щим собой совокупность поступательного движения подвижной системы координат вместе с точкой О (полюсом) и сферического движения вокруг этого полюса с угловой скоростью ωе и угловым ускорением εе вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О.
Абсолютную скорость точки М можно определить, дифференцируя уравнение (3.51) по времени t:
. (3.52)
Так как вектор (рис. 3.40) определен в подвижной системе координат, а - единичные векторы, посто-янные по модулю и вращающиеся вокруг мгновенной оси то, воспользовавшись известной из векторной алгебры формулой, получим:
, (3.53)
где: - угловая скорость подвижной системы координат,
- .
Следовательно, - является относительной скоростью,
Обозначив в (3.52) через скорость полюса О и подставив в него выражение (3.53), получим:
. (3.54)
Для определения переносной скорости положим в (3.54) , получим
. (3.55)
Из (3.55) следует, что переносная скорость точки М состоит из скорости полюса О и вращательной скорос-ти точки вокруг мгновенной оси вращения.
На этом основании формула (3.54) принимает вид
. (3.56)
Таким образом, мы доказали теорему о сложении скоростей: абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
Эту теорему называют правилом параллелограмма или треугольника скоростей. Следовательно, абсолютная скорость точки определяется диагональю параллело-грамма, построенного на переносной скорости и относительной скорости , ее модуль можно вычислить по формуле:
. (3.57)
3.7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
Для определения абсолютного ускорения в случае непоступательного переносного движения воспользуемся выражением (3.54) абсолютной скорости в этом движении и продифференцируем его по времени t:
, (3.58)
где: - абсолютное ускорение точки,
- ускорение полюса О,
= ,
,
- относительное ускорение точки.
Тогда, подставив эти выражения в уравнение (3.58) и приводя в нем подобные члены, получим:
,
где - переносное ускорение точки, связанной с подвижной системой отсчета и сов-падающей в данный момент с движущейся точкой М. В рассматриваемом случае такой точкой является точка М твердого тела. Ускорение этой точки состоит из ускоре-ния полюса , вращательного (касательного) ускорения и осестремительного (нормального) ускоре-ния .
(3.59).
Здесь - поворотное ускорение точки (ускорение Кориолиса)
Таким образом, установили, что
. (3.60)
Это равенство выражает теорему Кориолиса (1792-1843) о сложении ускорений в случае непоступательного переносного движения. Теорема формулируется так:
В случае непоступательного переносного движе-ния абсолютное ускорение точки в ее сложном движении равно геометрической сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.
Таким образом, абсолютное ускорение определяется замыкающей стороной многоугольника ускорений.
В случае поступательного переносного движения, когда ωе = 0 и εе = 0, скорости и ускорения всех точек, неизменно связанных с подвижной системой отсчета, в каждый момент времени геометрически равны. Поэтому переносное ускорение точки М равно ускорению полюса, то есть , а так как , то формула (3.63) принимает вид
. (3.61)
Полученный результат является следствием теоремы Кориолиса и формулируется так:
В случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме ее переносного и относительного ускорений.
А модуль ускорения можно вычислить по формуле:
. (3.62)
Относительное ускорение расположено в соприка-сающейся плоскости траектории относительного движе-ния, а переносное ускорение - в плоскости, которая параллельна соприкасающейся плоскости траектории полюса О.