4 Числові послідовності, їх види та арифметичні операції над ними. Граничні точки, границя, нижня і верхня границі послідовності та умови їх існування.

Опр. Ф-я f:N X, обл-ю опр-я кот-й явл. множество нат. чисел, наз. последовательностью.

Числовой последовательностью наз бесконечное множество чисел расположенных в определенном порядке одно за другим. Числа, входящие в последовательность наз ее членами

Обозначают числовую посл-ть {x_n}.

Пр. числовых посл-тей:

1) 1,2,..., n,...;

2) 1,-1,1,-1,...,(-1)ⁿ,...;

3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....

ограничена прим 1,2,...,n,... — огр. снизу, но неогр. сверху;

неограниченна

Неогр. Посл-ть может быть односторонне огр., то есть огр. или сверху, или снизу.

Пр. неогр. сверху посл-ти: x_n = n.

- бесконечно большая Пр . Посл-ти n, 2ⁿ явл. ббп.

Следует различать неогр. и бесконечно большую посл-ти. Всякая бесконечно большая посл-ть явл. неогр-ой, однако неогр-я не обяз. явл. бесконечно большой.

Пр. Пусть x_n = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная посл-ть сост. из двух составляющих, а именно x_2k-1 = 2k-1,

x_2k = 1/(k+1). Данная посл-ть неогр., т.к. сод. неогр-ю составляющую x_2k-1 = 2k-1, но не явл. бесконечно большой, так как содержит вторую часть x_2k = 1/(k+1).

- бесконечно малой Пр. x_n = 1/n – бмп

Лемма . Если _n —бмп, то 1/ _n —ббп.

Пр . Пусть _n = 1/n – бмп, тогда _n=1/_n=n будет ббп.

Теорема (свойства бмп)

1) Сумма и разность двух бмп явл. бмп. 2) Произведение огр. посл-ти на бмп явл. бмп.

Следствие 1. Произведение конечного числа бмп явл. бмп. 2)Алгебраическая сумма конечного числа бмп явл. бмп.

Число а наз пределом последовательности , если такое что обозначается .

Послед кот имеет границу наз сходящейся, ост расходящейся. ТЕОР: сход последоват имеет только одну границу.

ТЕОР 2:(необходимое условие сходимости последовательности) Сходящ последов ограничена

Беско малая послед ; бескон большая

Последоват сходится если - граница последовательномти.

x_n наз. расх-ся если а  ε>0  N:  n≥N |U_n-а|≥ε

Св-ва сх-ся посл-тей.

1. Если посл-ть сх-ся, то предел единственен. 2)Сх-ся посл-ть ограничена.

Арифм. Операции над посл-тями.

Опр. Если x_n,y_n – числовые посл-ти, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n 0 наз-ют соотв-но посл-ти

{(x_n y_n)},{(x_ny_n)},{(x_n/y_n}.

Теорема (предел суммы, произведения, частного). Пусть lim_nx_n = A, lim_ny_n = B, тогда

1. lim_n(x_n y_n) = A B; 2)lim_nx_ny_n = AB; 3)lim_nx_n/y_n = A/B, при B 0.

Граничные точки последовательности.

Т. А наз граничной точкой множ А если в любой ее окрестнос находится много элем множ А

граничная точка последоват если в любой окрестности находится много элементов что принадлежат этой окрестности .

Наименьшая граничная точка последовательности наз нижней границей последовательности.

Наибольшая гран точка послед – верхняя гран посл

фундаментальная послед

Критерий сходимости последов фундаменталь сходится.

Теорема. Если x_n ограничена, то  и .

Следствия

1. Если посл-ть ограничена, то вне инт-ла ( -ε, +ε) нах-ся лишь конечное число эл-тов посл-ти.

2. Пусть вне инт-ла (a,b) лежит лишь конечное число эл-тов посл-ти, тогда ( , ) (a,b).

3. (теорема Больцано - Вейерштрасса)

из любой сх-ся посл-ти можно выделить сх-ся подпосл-ть.

Теорема. Посл-ть сх-ся т. и т. т., к.

1. Она ограничена

2. =

5. поняття функції. Способи задання функцій та їх класифікація. Границя функйії в точці за Гейне і за Коші та їх еквівалентність. Істотні границі.

Пусть дано числовое множество , поставлено в соответствие число , тогда говорят что на множ Х задана числовая функция, и пишут ,

В этой записи наз аргументом или независимой переменной, множ Х наз областью определения функции . Число что соответствует значению аргумента , наз значением функции в точке и обозначают . Множество значений функции обозначают

Графиком функции , , в прямоугольной системе координат наз множество всех точек плоскости с корд. .

Функцию зад на симметричной относительно множ Х, наз парной (непарной), если (график парной функции симметричен относительно оси ординат, граф непарной функции симметричен относительно начала координат)

Число наз периодом функции если для любого выполняется . Функция что имеет период наз периодической

ограничена сверху (снизу)

невозрастающая (неспадающая)

строго спадающая (строго возрастающая) .

Способы задания: 1 Аналитический – ф-я задается посредством формул.

2 Табличный – закл. в задании таблицы отдельных знач-й аргумента и соответствующих им знач-й ф-й.

3..Графический – соотв-е между аргументом и ф-ей задается посредством графика.

Аналат: ф-ции могут быть заданы явно - , неявно - (прим ), параметрически .

2 ф-ции и наз взаимно обратными, если , а также для каждой пары удовлетв условию , удовлетворяется условие . Одна наз – прямой, другая – обратной. (прим

(по Киши)Число наз пределом функции в точке , если

(по Гейне) Число наз пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности такой, что , соответствующая последоват значений функций сходится к ( или при )

Th: опред предела функц по Гейне и по Коши эквивалентны.

Th: пусть заданы в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой точки , и , . Тогда:

, , ,

Th: пусть , и заданы в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой точки , и удовлетворяют неравенству . Пусть . Тогда

1 замечательный предел , следствие 1. , сл. 2

2 замечательный предел

Следств 1) , 2) , 3) , 4)

6. означення неперервної функції в точці. Неперервність елементарних функцій. Локальні властивості неперервної функції. Точки розриву.

Функц наз непрерывной в т , если

Пусть дано числовое множество , поставлено в соответствие число , тогда говорят что на множ Х задана числовая функция, и пишут ,

Элементарной функц наз функц, кот может быть задана при помощи конечного числа арифметических операций и композиций с основных элементарных функций.

Функц наз непрерывной справа (слева) в т , если

Th: если ф-ции , непрер в т , то ф-ции , , тоже непрерывны в т .

Th: каждая элементарная функция, кот задана в окрестности некот точки, непрерывна в этой точке.

Теорема(Локальные св-ва непрерывных ф-ий. (fC(a)))

1. f(x)C(a)Тогда f(x) ограничена в некоторой окр-ти точки a.

2. fC(a) и f(a)≠0, то найдется такая окр-ть точки a в каждой точке которой функция имеет тот же знак, что и в точке a.

3. f,gC(a)=>f±g, fg, f/g (g(a)≠0) C(a)

4. g(t)C(b), f(x)C(a), f(a) = b, тогда g(f(x))C(a).

Точки разрыва

Пусть граничная точка области определ ф-ции . Точка наз точкой разрыва ф-ции , если в этой точке не является непрерывной. Тогда наз:

1. точкой условного розрыва, если существ К точкам разрыва первого рода относ-ся точки устранимого разрыва, когда предел функции при x a сущ-ет, но в точке a функция либо неопределена, либо f(a) lim x af(x).

2. точкой разрыва 1-го рода, если сущ и , но . Точка а наз. точкой разрыва первого рода, если в этой точке ф-я имеет конечные односторонние пределы функции слева и справа при x a, не равные друг другу

3.Точкой разрыва 2-го рода, если в точке не сущ хотя бы одна из односторонних границ. (под словами сущ (не сущ) имеется ввиду сущ (не сущ) конечный предел). (Точка а наз. точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.)