49. Слар. Класифікація і методи розв’язку.

СЛАУ – єто система вида , - коєф. Сист., - неизв, - правая часть.

Решением СЛАУ наз такой набор значений переменн при котором все ур-ия сист одновременно превращаются в тождества. СЛАУ несовместная если она не имеет ни одного решения. Совместная если имеет хотяби одно решение. Совместная СЛАУ наз определенной если она имеет ед. решение. Совместная СЛАУ наз неопределенной если она имеет более одного решения. СЛАУ наз однородной если все прав части одновременно =0.(однородная СЛАУ всегда совместна т.к. имеет по крайней мере 1 реш) ( - тривиальное решение).

Теор кронекра-капелли СЛАУ совместна т. и т т когда ранг мат. Сист. рангу расширенной матр. Сист.

СЛАУ наз квадратной если кол-во неизвестн = сист уравн т.е. если мат А явл. Квадратной.

Методы решения СЛАУ 1) метод обратной матр. то реш сист можно записать в виде (этот метод удобно применять когда нужно решать много систем с одинаковой мат А и разными прав частями)

2) метод крамера теор: Если определитель мат. Квадр сист не равен нулю то СЛАУ имеет единств решение которое дается формулой крамера , где - опред матр сист, - опр мат сист в кот вместо -го столбца стоит столбец правых частей.

3) метод гаусса (метод последовательного исключения неизвестного). Пусть дана система - уравнений с - неизвес. Выразим из первого Ур-ия и подставим получ выражение в остальные Ур-ия. Получим подсистему Ур-ие с - неизвестн. К этой подсистеме применим ту же операцию, пока не получим одно Ур-ие, с одним неозв. На этом 1-я часть решения (прямой ход метода гаусса) закончена из последнего Ур-ия находим зная его из, предпоследнего Ур-ия. Найдем и так далее, из первого Ур-ия найдем на этом вторая часть (обратный ход) закончена. Задача решена. На практике обычно работают не с системами, а с их расширенными мат. Зап с помощ елемент преобразов над строками привод к верхнетриугольному виду (прамой ход), а потом к един. Мат (обратн. Ход) Полученный при этом прав столбец и будет решением. Метед Гаусса является наиболее общим решением СЛАУ. Его можно применять и для решения неопределенных СЛАУ.

50 Визначники і їх властивості

Определители (детерминант) - порядка наз сумма ! Слогаемых каждый из которых есть произв - елементов взятых по одному из каждой строки и каждого столбца с учетом правила знака

Св-ва опред-й. 1) определитель транспонированной мат = опред исходной матр . Это означает что в определит строки и столбцы ровноправны и все что мы далее будем говорить о строках будет относится и к столбцам.

2) общий множитель в строке можно выносить за знак опред.

3) если какая-то строка определит представляет собой сумму 2-х строк то этот опред = сумме 2-х опред в каждом из кот вместо этой строки состоит одно из слогаемых.

4) опред содержащий нулевую строку =0.

5) если в опред поменять местами 2 строки то он изменит знак

6) определ с 2-мя равными строками =0

7) опред с 2-мя пропорциональными строками =0

8)опред не изменится если к какой-нибудь его строке прибавить другую строку умноженную на некоторое число.

9) опред верхнетриугольной матр = произведению диагональных елементов.

10) дополнительным минором элем наз опред получ вычеркиванием из исходного опред строки и столбца. Алгебраич дополнением Эл-та наз исходный опред в котором все элементы строки и столбца =0, а на их пересечении стоит 1 (Минором М_ij Эл-та a_ij опред-я n-го пор-ка наз-ся опрде-ль n-1 порядка, который получается из опред-я вычеркиванием i строки и j столбца. Алгебаическим дополнением A_ij Эл-та a_ij наз-ся произ-е (-1)^i+j*M_ij.)

11) разложение опред по строке – опред = сумме произведений элементов некоторой строки на алгебр дополнение к элементам этой строки

12) сумма произвед элем строки на алгебр дополн элем строки опред = опред в кот вместо строки стоит строка .

13) сумма произведений элементов строки определителя на алгебр дополн на элем строки опред .

14) опред произведения квадратн матр = произвед опред