25 В-ры в трехмерном пр-ве.

Направленный отрезок АВ наз-ся вектором.

Расстояние между концом и началом в-ра б. наз длиной или модулем в-ра.

Два или более в-ров наз-ся коллинеарными, если они параллельны или лежат на одной прямой. Три или более в-ров наз-ся компланарными, если все они параллельны нек. пл-ти или лежат в одной пл-ти.

Если длина в-ра равна 0, то в-р наз нулевым. Нулевой в-р явл-ся коллинеарным люб. ненулевому в-ру.

Свободный в-р – это в-р, у кот. положение нач. точки в пр-ве знач-я не имеет. Два свободных в-ра наз. равными, если они имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

Под лин. операциями пон сложение в-ров и умн-е в-ра на число.

Сумма – АВ+ВС=АС

Вектора наз противоположными если их сумма явл нулевым в-ром

Разность – ОА-ОВ=ВА

Произведение в-ра а на число  - в-р, кот имеет длину *а.

Св-ва лин операций над векторами:

1. а+b=b+а;

2. (a+b)+c=a+(b+c);

3. a+0=a;

4. (-1)*a=-a;

5. ()*a=(*a);

6. (+)*a=*a+*a;

7. *(a+b)= a+b;

8. 1*a=a.

В-ры а1,а2,...,аn наз линейно-зависимыми, если сущ. числа 1,2,...,n среди кот-х хотя бы одно отлично от 0, такие что 1*а1+2*а2+...+n*аn=0

Если последнее рав-во возможно только при 1=2=...=n, то в-ры наз. линейно независимыми.

Множество векторов будем наз-ть векторным пространством, если линейные операции над любыми в-рами множества дают в-ры того же мн-ва.

Базисом в-ного пр-ва наз-ся упорядоченная совокупность в-ров этого пр-ва, кот-я явл-ся линейно-независимой и такой, что любой в-р м. б. представлен в виде лин. комбинации в-ров упорядоченной совокупности.

Число в-ров базиса наз размерностью данного векторного пр-ва.

В качестве базиса м. взять любых три некомпланарных в-ра, т.е. размерность пр-ва равна трем.

Обычно пользуются ортонормир-ми базисами, которые состоят из трех единичных векторов попарно ортогональных

е3 е3

е2 е1

е1 е2

Прав. ортонорм. базис Лев. ортонорм. базис

Пусть в-ры a,b,c образуют базис трехмерного пр-ва, тогда любой в-р d явл. лин. комбинацией базисных в-ров

D=*a+*b+*c,

числа ,  и  наз-ся координатами в-ра d в базисе {a,b,c}.

Условимся d с координатами ,  ,  в базисе (a,b,c) записывать как d=(,,). Каждой трехмерной строке соотв-ет только один в-р и наоборот.

Если известны координаты в-ров a,b в базисе e1,е2 ,е3:

а=(1, 1, 1), b==(2, 2 , 2).

Тогда a+b=1e1+1е2+1е3+2e1+2е2+2е3=(1+2 )e1+(1+2)е2 +(1+2)е3

Следует, что координаты суммы определяются трехмерной строкой a+b=(1+2 ;1+2;1+2).

Аналогично, а=(; ; ).

Скалярным произведением (a,b) наз-ся число равное произведению длин перемножаемых в-ров на косинус угла между ними

(a,b)=abcos(ab).

Свойства скалярного произведения:

1. (a,b)= (b,а);

2. (a,а)=а²=а²;

3.  : (а,b)=(a,b)=(a,b);

4. a0, b0 , (a,b)=0, ab-ортогональны;

5. (a+b,c)=(a,c)+(b,c).

(a,b)= (12+12+12)/

Векторным произведением двух ненулевых векторов a и b наз-т такой в-р [a,b], что

1. его длина равна произведению длин векторов a,b на синус угла между ними

[a,b]=absin(ab);

2. он перпендикулярен каждому из векторов a и b;

3. он направлен так, что упорядоченная тройка a,b, [a,b] положительна.

Свойства векторного произведения:

1. [a,b]=-[b,а];

2. [а,b]=[a,b];

3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c];

4. [a,b]=0, если a и b коллинеарны

Геометрический смысл векторного произведения – площадь параллелограма, построенного на в-рах a и b, начало которых следует поместить в одну точку.

[a,b]=(11-12,12-12,12-12).

Смешанным произведением a,b,c называется число равное скалярному произведению

(a,b,c)=(a[b,c])

Смешанное произведение равно 0 , когда один из в-ров нулевой или все три в-ра параллельны одной плоскости.

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произв. отличных от нуля трех некомпланарных в-ров по модулю равно объему параллелипипеда, построенного на этих в-рах.

2. При циклической перестановке некомпланарных a,b,c в (a,b,c) последнее не меняется

(a,b,c)=(c,a,b)=(b,c,a)=(a,b,c),

При перестановке двух любых в-ров в (a,b,c) последнее меняет знак

(a,b,c)=-(b,a,c)=-(c,b,a)=-(a,c,b).

1 1 1

(a,b,c)= 2 2 2 .

3 3 3

26 Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Пусть V и W два различных линейных пр-ва над полем комплексных чисел. Отображение A:VW , которое ставит в соответствие каждому в-ру x пространства V некоторый в-р y пространства W будем называть оператором A, действующим из V в W.

Пример: 1.Для фиксированного числа  лин. оператором явл. отображение VV , пропорциональное тождественному и переводящее произвольный вектор xV в вектор x.

2.Отображение дифференцирования d будет оператором в пространстве P(R) всех вещественных многочленов.

Оператор А называется линейным, если выполняется два условия:

1.Св-во аддитивности А(х1+х2)=Ах1+Ах2.

2.Св-во однородности А(х)=Ах.

Обозначим через L(V,W) множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Два линейных оператора А и В будем считать равными , если для любого xV Ax=Bx .

Под суммой двух линейных операторов А и В принимают оператор А+В , такой что для любого xV : (А+В)х=Ах+Вх.

Под произведением линейного оператора А на число , принимаем число А , такое что для любого xV (А)х=Ах.

Оператор  наз. нулевым, если для любого xV х=0.

Св-ва операций сложения и умножения лин. операторов:

1. *А*В)=(*А)*В=А*(*В).

2. А*(В+С)=А*В+А*С.

3. (А+В)*С=А*С+В*С.

4. (А*В)*С=А*(В*С)=В*(А*С).

Ядром лин.оператора А L(V,W) наз. такое мн-во KerA в-ров пространства V,что  х KerA А*х=0.

Образом оператора А наз. мн-во ImA всех векторов пр-ва V, каждый из кот-х имеет преобр-е ,то есть если у ImA, то  хV, у=А*х.

Размерность подпр-ва ядра KerA наз. деффектом оператора А dim(KerA)=defA.

Размерность подпр-ва образованного оператором ImA наз. рангом оператора Dim(ImA)=rangA.

Число  называется собственным значением (числом ) лин.оператора А  L(V,W), если в пространстве V можно найти такой ненулевой вектор х, что :

А*х=*х, х0 (1).

Любой ненулевой вектор, удовлетворяющий этому равенству называется собственным вектором оператора А.

Равенство (1) можно записать в виде:

(А-)х=0, где -тождественный оператор.

Так как х, то ясно,что dim(KerA) 1.

Пусть n - размерность пространства V. Известно, что

dim(Ker(А-))+ dim(Im(А-))= n

 rang(А-)<=n-1, но тогда det (А-)=0.

Таким образом, если  является собственным значением оператора А , то  является корнем характеристического уравнения

det(А-)=0.

Теорема: Для того, чтобы комплексное число  было собственным значением лин.оператора А необходимо и достаточно,чтобы это число являлось корнем характеристического уравнения det (А-)=0.

2 7 Виды уравнений плоскостей и прямых в пространстве. Уравнения их параллельности и перпендикулярности.

Пусть в пр-ве введена декартова система координат, которая х-ся правым ортонормированным базисом. Составим ур-е пл-ти, кот-я проходит через точку М0 с координатами (х0,у0,z0) и перпендикулярно в-ру а(А,В,С).

Пусть точка М(х,у,z) – произвольная точка пл-ти .

В-р М0М=(х-х0,у-у0,z-z0) лежит в рассматриваемой пл-ти и поэтому ортогонален в-ру а(А,В,С). В силу этого (а, М0М)=0.

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 (1)

Ур-е (1) – ур-е плоскости, проходящей через т.М0 (х0,у0,z0) и перпендикулярно а. Явл-ся частным случаем лин. ур-я

Ах+Ву+Сz+D=0 (2)

Покажем, что любое ур-е вида (2) явл-ся ур-ем какой-либо пл-ти:

Пусть х0,у0,z0 одно из реш-й лин. ур-я

Ах0+Ву0+Сz0+D=0

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0  (1)явл.ур.пл.

Итак, ур-е (2) - общее ур-е пл-ти.

Коэфф-ты А,В,С явл-ся координатами в-ра перпендикулярного пл-ти.

1. Если один из коэф. в уравнении(2), напр. А, равен 0, тогда а(0,В,С)оси Х. В этом случае плоскость параллельна оси Х.

2. Если в ур. (2) два каких-либо коэф. ,напр. А и В, равны 0, то в этом случае пл-ть должна быть параллельна оси Х и оси У  пл-ть параллельна пл-ти ХУ.

3. Если в ур-и (2) D=0, то плоскость проходит ч-з начало координат.

Пусть в ур-и (2) коэф. D0, тогда ур-е можно привести к виду

x/+у/+z/=1 (3)

У р-е (3)-ур-е пл-ти в отрезках на осях.

z



 у



х

Разделив ур-е (2) на нормирующий множитель А²+В²+С^{2 ,}

получим нормальное ур-е пл-ти (4).

Пусть т. М(х,у,z) – произвольная точка пл-ти ,

М1,М2,М3 - три точки пространства с координатами соответствущие индексам. В этом случае в-ры М1М2, М1М3, М1М- будт компланарны.

(5)

Ур-е (5)- ур-е пл-ти, проходящей через три точки.

Пусть т. М(х,у,z) – произвольная точка пл-ти ,

В-р r(x,y,z)- её радиус-вектор.

т. М(х,у,z)плоскости, когда векторы p, q, М0М=r-r0 копланарны, т.е. линейно независимы.

r-r0=u*p+v*q, где u, v- действительные.

х=х0+ u*pх+v*qх

у=у0+ u*pу+v*qу (6)

z=z0+ u*pz+v*qz

M0 q

r p

r0 M

Ур-е (6)- параметрическое ур-е пл-ти, проходящей ч-з точку и два неколлинеарных в-ра.

Рассмотрим две пл-ти А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0.

Пл-ти параллельны:

А1/А2=В1/В2=С1/С2 , А2,В2,С2.

Пл-ти перпендикулярны:

А1/А2=В1/В2 , С1=0 , С2=0

А1*А2+В1*В2+С1* С2=0.

Известно, что две пл-ти пересекаются по прямой, поэтому система двух ур-ий (1) определяет прямую в плоскости, если эти плосткости непараллельны.

А1х+В1у+С1z+D1=0 (1)

А2х+В2у+С2z+D2=0.

Ур-я (1)- неявные ур-я прямой в пространстве.

Пусть дана т.М0(х0,у0,z0) и направляющий в-р прямой а=(ах,ау,аz), т.М(х,у,z) – произвольная точка пр-ва, в-р r(x,y,z)- её радиус-вектор.

т.М(х,у,z)прямой , когда в-ры а, М0М - коллинеарны.

М0М=t*a, r-r0=t*a,

г де t- параметр.

х =х0+ t*aх

у=у0+ t*aу (2)

z=z0+ t*az M0 a

r0 M

r

Ур-я (2)- параметрические ур-я прямых.

При aх, aу, az из (2) получим равенства:

х-х0/aх =у-у0/aу =z-z0/az =t (3)

Ур-я (3)- канонические ур-я прямой, проходящей через т. М0 параллелльно в-ру а .

Пусть заданы прямые

y=к1х+d1

y=к2х+d2

Две прямые перпендикулярны, если к1* к2=-1.

Две прямые параллельны, если к1= к2.

Если общее ур-е разделить на то получим нормальное ур-е прямой.