- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Численные методы решения задачи Коши
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 18 «Решение задач эллиптического типа» Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа Расчет
- •Вид рабочего листа Динамика
- •Вид диаграммы на рабочем листе Расчет для задачи б)
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 3
Министерство образования Московской области
ГОУ ВПО МО
"Коломенский государственный педагогический институт"
А.С. Трушков
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Компьютерный практикум
Часть 3
Обыкновенные дифференциальные уравнения
и системы
Задачи математической физики
Учебное пособие
Коломна - 2006
УДК 519.613 (075.8) ББК 22.143 + 32.97 я73 Т 77 |
Рекомендовано к изданию редакционно- издательским советом Коломенского государственного педагогического института |
Трушков А.С.
Численные методы. Компьютерный практикум. Часть 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Задачи математической физики: Учебное пособие. – Коломна; КГПИ, 2006 – 92 с.
Данное учебное пособие предназначено для выполнения компьютерного практикума по дисциплине "Численные методы" для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. В третьей части учебного пособия рассмотрены лабораторные работы по численному интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем, решению краевых задач 2-го порядка, решению задач математической физики: эллиптических, параболических и гиперболических дифференциальных уравнений 2-го порядка в частных производных.
Рецензенты: |
Новиков В.Г., доктор технических наук, профессор, начальник сектора Конструкторского бюро машиностроения |
|
Родионов К.А., кандидат технических наук, доцент кафедры информационных технологий Коломенского института Московского государственного открытого университета |
ГОУ ВПО МО "КГПИ", 2006
Трушков А.С., 2006
Содержание
Введение …………………………………………………………………… |
4 |
Лабораторная работа № 15 "Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка" ………………………. |
5 |
Лабораторная работа № 16 "Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка" ……... |
18 |
Лабораторная работа № 17 "Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка" ……. |
39 |
Лабораторная работа № 18 "Решение задач эллиптического типа" ……. |
52 |
Лабораторная работа № 19 "Решение задач параболического типа" …... |
62 |
Лабораторная работа № 20 "Решение задач гиперболического типа" …. |
75 |
Заключение ………………………………………………………………… |
90 |
Литература …………………………………………………………………. |
91 |
|
|
Введение
Данное учебное пособие написано в соответствии с программой по дисциплине "Численные методы", изучаемой студентами физико-математических факультетов педагогических вузов. В третьей части учебного пособия представлены материалы 6 лабораторных работ, которые охватывают следующие разделы программы:
- численное интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка;
- численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка и уравнений высших порядков;
- решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го рядка;
- численное решение дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка эллиптического, параболического и гиперболического типов.
В каждом разделе приводятся необходимые теоретические сведения: основные теоремы, определения, формулы, определения и т.д. Кроме того, в каждом разделе приведен пример решения соответствующей задачи с использованием табличного процессора MS Excel. В задачах математической физики использовано алгоритмическое программирование на Visual Basic for Applications, когда решение связано с реализацией итерационных процедур. Практически это связано с многократным переносом полученного приближения решения в диапазон ячеек, соответствующих предшествующему приближению.
Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка осуществляется с помощью методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта 4-го порядка на разностных сетках с удвоением отрезков интегрирования. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности используется также для решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка и уравнения 2-го порядка. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка сводится к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей и решается методом прогонки. Задача Дирихле для уравнения Пуассона (уравнение эллиптического типа) сводится к явной разностной схеме "крест" и решается методом простой итерации. Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа, описывающее процесс теплопроводности в тонком стержне, аппроксимируется разностной схемой Кранка-Николсона и решается методом прогонки. Для уравнения гиперболического типа (колебания упругой струны) используется явная трехслойная схема с ограничением на величину шага по временной переменной.
Лабораторная работа № 15
"Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка"
Элементы теории
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:
. (1)
Решением дифференциального уравнения (1) называется функция (x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество . График решения y=(x) называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция (x)=Сех при любом значении произвольной постоянной С.
Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию:
. (2)
П ару чисел (x0 , y0 ) называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1) при условии (2). Например, частным решением задачи Коши:
является функция (x)=ех .
Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку (x0 , y0 ).
Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция f(x,у) – правая часть дифференциального уравнения (1) – непрерывна вместе со своей частной производной по переменной у в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x0 , y0 ) D задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение y=(x).
При выполнении условий теоремы через точку (x0 , y0 ) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.
Численное решение задачи Коши (1)-(2) состоит в том, чтобы получить искомое решение (x) в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений аргумента х на некотором отрезке [a, b]:
x0 = a, x1 , x2 , … , xm = b. (3)
Точки (3) называются узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [a, b]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h: h = (b – a)/m , xi – xi-1 = h или , xi = x0 + ih , i = 1, … , m. Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках xi обозначим через уi : уi = (xi), i = 1, … , m. Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть y0 =(x0).
Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка [a, b] оценивается величиной:
,
то есть расстоянием между векторами приближенного решения (у0 , у1 ,… , уь ) и точного решения ( (x0), (x1), … , (xm) ) на сетке по m-норме. Говорят. что численный метод имеет р-й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h:
d = Ch p , p > 0,
где С – некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода. Очевидно, что когда шаг h стремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.
Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке Р0(х0 , у0 ) есть
.
Найдем ординату у1 касательной, соответствующей абсциссе x1 = x0 +h. Так как уравнение касательной к кривой в точке Р0 имеет вид
,
то у1 = у0 + h f(x0 , y0 ).
Угловой коэффициент в точке Р1(х1 , у1 ) также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку Р2(х2 , у2 ), причем х2 = х1 + h , y2 = y1 + h f(x1 , y1 ). Продолжая вычисления в соответствии с этой схемой, получим формулы Эйлера для m приближенных значений решения задачи Коши с начальными данными (х0 , у0 ) на сетке отрезка [a, b] с шагом h:
. (4)
Г рафической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки Р0 , Р1 , Р2 , … , Рm , которую называют ломаной Эйлера.
Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке х1 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
Погрешность метода на одном шаге имеет порядок h2, так как
.
После m шагов погрешность вычисления значения ym в конечной точке отрезка возрастет не более, чем в m раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством
или представить в виде d = Ch, где . Это значит, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз погрешность уменьшится примерно в 10 раз.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xi [a, b] производят с помощью приближенного равенства - правила Рунге:
, (5)
где р – порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h/2.